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一、空间曲线普通方程
二、 空间曲线参数方程
三、空间曲线在坐标面上投影
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空间曲线能够看作两个曲面交线. 设
一、空间曲线普通方程
和
是两个曲面方程,它们交线为C(图7-44).
(1)
因为曲线C上任何点坐标应同时满足这两个曲面方程,
所以应满足方程组
图7-44
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例1 方程组
表示怎样曲线?
解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴圆柱面, 其准线是xOy面上圆, 圆心在原点O,半径为1.
反过来,假如点M不在曲线C上, 那么它不可能同时在两个曲
面上, 所以它坐标不满足方程组(1). 所以, 曲线C能够用方
程组(1)来表示. 方程组(1)叫做空间曲线C普通方程.
方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴柱面, 因为
它准线是zOx面上直线, 所以它是一个平面.
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方程组就表示上述平面与圆柱面交线, 如图7-45 所表示.
图7-45
x
y
z
O
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例2 方程组
表示怎样曲线?
解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为a
上半球面.
, 半径为
第二个方程表示母线平行于z轴圆柱面, 它准线是xOy
面上圆, 这圆圆心在点
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二、空间曲线参数方程
空间曲线C方程除了普通方程之外, 也能够用参数形式表示,
只要将C上动点坐标x，y，z表示为参数t函数:
(2)
当给定
时,就得到C上一个点
伴随t变动便可得曲线C上全部点.
方程组(2)叫做空间曲线参数方程.
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都是常数), 那么点M组成图形叫做螺旋线. 试建立
例3 假如空间一点M在圆柱面
上以角速度
绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴正方向上升(其
中
其参数方程.
解 取时间t为参数. 设当
时,
处. 经过时间t, 动点由A运动到
(图7-47).
动点位于x轴上一点
图7-47
h
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记M在xOy面上投影为
,
坐标为
因为动点在圆柱面上以角速度
绕z轴旋转,
所以经过时间t,
从而
因为动点同时以线速度v沿平行于z轴正方向上升, 所以
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所以螺旋线参数方程为
也能够用其它变量作参数; 比如令
, 则螺旋线参数
方程可写为
这里
, 而参数为
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螺旋线是实践中惯用曲线. 比如, 平头螺丝钉外缘曲线
就是螺旋线. 当我们拧紧平头螺丝钉时, 它外缘曲线上
任一点M, 首先绕螺丝钉轴旋转, 另首先又沿平行于
轴线方向前进, 点M就走出一段螺旋线.
螺旋线有一个主要性质: 当
从
变到
时,z由
变到
尤其是当
转过一周, 即
时, M点就上升固定
高度
. 这个高度
在工程技术上叫做螺距.
这说明当
转过角
时,M点沿螺旋线
上升了高度
即上升高度与
转过角度成正比.
,
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