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第五节
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一、一个方程所确定隐函数
及其导数
二、方程组所确定隐函数组
及其导数
隐函数求导方法
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本节讨论 :
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
比如, 方程
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时,
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
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一、一个方程所确定隐函数及其导数
定理1. 设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证实从略，仅就求导公式推导以下：
① 含有连续偏导数;
某邻域内可唯一确定一个
在点
某一邻域内满足
②
③
满足条件
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导数
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两边对 x 求导
在
某邻域内
则
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若F( x , y ) 二阶偏导数也都连续,
二阶导数 :
则还有
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例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域
可确定一个单值可导隐函数
解: 令
连续 ,
由 定理1 可知,
①
导隐函数
则
②
③
在 x = 0 某邻域内方程存在单值可
且
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并求
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两边对 x 求导
两边再对 x 求导
令 x = 0 , 注意此时
导数另一求法
— 利用隐函数求导
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定理2 .
若函数
某邻域内含有连续偏导数 ,
则方程
在点
并有连续偏导数
定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,
定理证实从略, 仅就求导公式推导以下:
满足
① 在点
满足:
②
③
某一邻域内可唯一确
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两边对 x 求偏导
一样可得
则
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