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一、方向导数
二、梯度
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一、问题提出
一块长方形金属板,受热
产生如图温度分布场.
设一个小虫在板中逃生至某
问该虫应沿什么方向爬行,
才能最快抵达凉快地点?
处,
问题实质:
应沿由热变冷改变最猛烈
方向爬行.
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需要计算场中各点沿不一样方向温度改变率,
从而确定出温度下降最快方向
引入两个概念:方向导数和梯度
方向导数问题
梯度问题
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讨论函数 在一点P沿某一方向
改变率问题.
二、方向导数
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当 沿着 趋于 时,
是否存在?
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记为
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方向导数为
同理,沿y轴正向
方向导数分别为
在点
沿着
轴正向
若偏导 存在,则
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方向导数是单侧极限,而偏导数是双侧极限.
原因:
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证实
因为函数可微,则增量可表示为
方向导数存在及计算公式
那末函数在该点沿任意方向l方向导数都存在,
定理 假如函数
在点
可微分,
且有
为
轴到方向l转角.
其中
计算公式
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故有方向导数
两边同除以
得到
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