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民族神话
鸿蒙未辟
宇宙洪荒
亿万斯年
四极不张
2025高考创新题剖析及 2025高考复习建议
四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理 641500 (0832)3358610
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纵览 2025年全国各地高考数学试卷,众多高考创新题无论是形式的设计，还是内容的讲究，都会给人面目一新之感．
一、 2025高考创新题剖析
1．选择题
O
M（，）
例1( 2025上海) 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为
（，）的点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点
有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
思路分析: ①当＝＝0时，则点M只能落在直线和相交于点O处,命题正确.
②当＝0，且＋≠0时，例如＝0,0,则点M只能落在直线上,故只有两个点.
③若≠0时，点M可能落在直线和外,且到直线和的的距离分别是、,这样的点共有4个. 故选择答案D.
点评 本题主要考查学生的阅读理解能力．在③中，学生易把点M只能在l上或2上两种情况误认为p=O和q=O时各有两种情况，从而共有四种情况．
例2( 2025辽宁) 设是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意,有,则称A对运算封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是
(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集
思路分析: A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C.
点评 本题考查了阅读和理解能力，，抓住运算后仍在A中是该题的突破口，亦是解决该题的方法．本题考查学生分析、解决问题的能力，易错点是抓不住本质而无法判断．
2
例3( 2025广东)对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则
A. B. C. D.
思路分析:由得,
所以,故选B.
点评 本题考查了学生分析问题、解决问题的能力及运算能力，同时考查了学生对新知识接受能力和整体把握加以运用的能力，是较高层次的要求．
例4( 2025江西)某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段[0,t]的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是
10ºc
G(t)
10ºc
G(t)
G(t)
10ºc
t
t
t
12
6
6
O
12
6
12
O
O
图（1）
B
A
D
10ºc
G(t)
O
6
12
t
C
G(t)
10ºc
6
12
t
O
思路分析：由于平均气温为10℃，故可排除D．由于题图给出的关系可以得6月份时接近为零，且平均值逐渐增大，故排除C．又6月份以后先增加后下降，故应有起伏，但总均值为10．故先增后降，故选A
点评 本题考查了学生观察分析图像、利用图像关系加以判断的能力．需考生有较高的分析能力和识图能力．同 时要求学生具有一定的图像知识，易错点：分析不到位而错选．
3
例5（ 2025福建）对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=900，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC中，||AC||+||CB||>||AB||。
其中真命题的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
思路分析:对于①不妨设C(x,y)如下图所示，这种“距离”||AB||=|AM|+|MB|。
A(x1,y1)
B(x2,y2)
A(x1,y1)
B(x2,y2)
x
y
O
x
y
O
C(x,y)
|x2-x1|
|y2-y1|
|y2-y|
|y-y1|
|x-x1|
|x2-x|
M
M(C)
F
E
图1
图2
由于点C在线段AB上，所以根据题目中“距离”的定义有：
||AC||+||CB||=(|AE|+|EC|)+(|CF|+|FB|)=(|AE|+|CF|)+(|EC|+|FB|)=|AM|+|MB|=||AB||
所以①为真命题；
对于②将上图2的M换成C，于是可得：||AC||2+||CB||2=|AC|2+|CB|2，
而||AB||2=(|AC|+|CB|)2=|AC|2+|CB|2+2|AC||CB|，显然此事||AC||2+||CB||2||AB||2，
所以②为假命题；
对于③同样将上图2的M换成C，||AC||+||CB||=|AC|+|CB|=||AB||，
所以③为假命题。
从而正确答案应选（B）。
点评 新定义的“距离”颇具新意，但是新的这个“距离”实际就是两点横坐标之差的绝对值与这两点纵坐标之差的绝对值的和。由此将题目中的数据全部构造在一个熟悉的直角三角形中，以此为桥梁，对①②③逐一判断，即可得出正确答案。需注意的是“细心”二字的分量.
例6（ 2025四川）从0到9这10个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
思路分析:将这10个数字按被3除所得的余数分成三个集合A={0,3,6,9},B={1,4,7},C={2,5,8},
所以能被3整除的分以下四种情况：
①三个数都从A中取,共有个数能被3整除;
②三个数都从B中取,共有个数能被3整除;
③三个数都从C中取,共有个数能被3整除;
④分别从A、B、C中各取一个数,共有个数能被3整除.
4
所以所有能被3整除的数共有228个，而从0到9这10个数字中任意取3个数组成的三位数共有个,所以能被3整除的概率为,
于是这个数不能被3整除的概率为,正确答案应选(B).
点评 与大学教材《初等数论》的“同余”紧密联系，进一步可引申：将这所有整数按被k(kZ)除所得的余数可分成k个不同的集合。本题的关键是对这些数字分成三个不同集合,要找出这个分类的标准,这就得利用这个简单的“同余”了.
2．填空题
例1．（ 2025上海）三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1,12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”．
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是 ．
思路分析:采用乙说的思路.∵x∈[1,12],∴原题等价于x++|x2－5x|≥a在[1,12]上恒成立.
下面求函数y=x++|x2－5x|的最小值.
∵x+≥10(当且仅当x=5∈[1,12]时,取最小值10)
且∵|x2－5x|≥0(当且仅当x=5时,取最小值0),
∴当且仅当x=5时,函数y=x++|x2－5x|取最小值10.
从而原题所求a的取值范围是(－∞,10].
点评 在传统的求参数的取值范围的基础上糅合三位同学的说法，贴近生活，既考查了明辨是非的能力，也为该题本身降低了难度。知道为什么不采用另外两条思路吗？就甲说的而言,能否在x取同一值时取得最值值得讨论；就丙说的而言,要准确无误作出函数y=x2＋25＋|x3－5x2|的图像比较困难；只有乙说的是常规思路,但如果观察不出x+与|x2－5x|在同一处取得最小值这一细节,求解过程也会很复杂.
例2( 2025四川)非空集合G关于运算㈩满足:⑴对于任意a,b∈G,都有a㈩b∈G;⑵存在c∈G,使得对一切a∈G,都有a㈩c=c㈩a=a,则称G关于运算㈩为“融洽集”.现给出下列集合和运算:
①G={非负整数},㈩为整数的加法;
②G={偶数},㈩为整数的乘法;
③G={平面向量},㈩平面向量的加法;
④G={二次三项式},㈩为多项式的加法;
⑤G={虚数},㈩为复数的乘法.
其中关于G的运算㈩为“融洽集”的是 .
思路分析:对于①任意两个非负数的和仍是非负数,又存在e=0∈G={非负整数},使得对一切a∈G={非负整数},都有a㈩e=a+0=0+a=e㈩a=a,所以此时G关于运算㈩为“融洽集”;
6
对于②虽然任意两个偶数的乘积仍为偶数,但是在偶数集合中不存在e,使得a×e= e×a=㈩不为“融洽集”;对于③显然任意两个平面向量的和仍是平面向量,又存在e=∈G={平面向量},使得对一切a∈G={平面向量},都有a㈩e=a+=+a=e㈩a=a,所以此时G关于运算㈩为“融洽集”;对于④若a=2x2+2x+2∈G={二次三项式},b=－2x2－2x－2∈G={二次三项式},则a㈩b=2x2+2x+2+(－2x2－2x－2)=0G={二次三项式},所以此时G关于运算㈩不为“融洽集”;对于⑤若a=i∈G={虚数},b=－i∈G={虚数},则a㈩b=i+(－i)=0G={虚数},所以此时G关于运算㈩不为“融洽集”;所以应填①③
点评:此题以集合为载体,通过新定义“融洽集”,解决这类型题目时,心情平和是很重要的,对于每个小题,采用把这里的运算㈩换成每个小题给出的运算,,对于常见的集合中的特殊元素,我们应该引起足够的重视.
例3 ( 2025湖北)将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出，其中=_______.
令，
则=_______.
思路分析:本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，,.
点评 本题考查学生的知识迁移能力、化简变形能力和观察问题分析问题的能力．要从表中看出其中的规律是：每一行中的每一个数为下一行中两个“脚”上的两个数之和．第二问的关键是进行裂项求和.
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2025年北京卷14图
例4（ 2025广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则 ； （答案用表示）.
思路分析:法一：由题可知f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，15，…，通项公式是(不妨，，，…，，累加整理即得通项公式)，所以f(2)=f(1)+3=4，f(3)=f(2)+6=10，f(4)=f(3)+15=35，f(5)=f(4)+15=35，以此类推f(n)=f(n-1)+,于是累加得f(n)==
=。所以答案应填10；.
点评 将数列的通项公式、数列的求和融合到 2025年4月24至5月1日举行的世乒赛这一实际情景当中，重点考察累加法求通项公式和常规数列的求和，此外观察分析数据的能力也是本题考查的一个重要方面。当然要顺利解出此题，个人的空间想象能力也是一个非常重要的方面，要求考生在头脑中能清晰建立起“堆成正三棱锥”这一空间模型，并要注意相邻两堆个数变化的根本原因.
二、 2025高考复习建议
，尤其是每天讲的例题、做的练习题和检测题，不用或尽量少用那些用了几十年的老掉牙的陈题．这就要求学生应该不断地学习和充电，比如可以多订阅报刊杂志，从杂志中涉猎新题．有了新题还得用好新题，通过新题归纳解题的思维方法,激发学生的思维风暴；关注题型的单向发展，重视横纵联系；拓展新题的思想方法，加强多元交汇．
另外，还要注意强化数学建模，提高实践能力，，注重数学知识和技能应用的有效性、灵活性和综合性．以提高数学阅读能力为起点，建立数学模型为核心，寻找或自行编制一些贴近生活的实际应用题，特别是概率与统计应用题．
．尤其要重视配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法和数形结合法等常用的数学技能和方法；分析法、综合法、归纳法、演绎法和反证法等常用的逻辑推理方法；函数与方程、变换与转化、分类与归纳、数形的结合与分离、定常与变化的对立与统一等重要的数学思想和方法．以夯实主干知识为原点，以熟练数学思想方法为支点，以提升能力为驻点，不遗余力地培养学生较高的思维层次中的探索能力，直觉思维能力，合情推理能力，策略创造能力．
，必然要先理清主干知识的脉络，分析各主干知识的内涵、外延和交汇．这就要求我们在 2025年的高考复习中应充分重视数学主干知识的支撑作用，以主干知识为支柱，构建知识网络．比如在函数的复习中一定要链接导数；数列的复习中嫁接极限与数学归纳法；三角函数的复习中要重新审视和定位函数；在向量的复面几何、立体几何、解析
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几何、复数、三角函数和数列；不等式的复习中倾注函数、数列、向量和解析几何；排列、组合与概率和概率与统计二合一进行复习，等等，如此这般渐渐揉和知识模块和模糊章节的界限，最后达到天人合一． 2025年的高考复习，还得均衡发展．教材中的每一个章节内容都可能成为高考的热点和重点，来的都是客，一个也不能少．哪个也不能轻视，不能人为地划定三六九等，要一视同仁，步步为营，稳扎稳打．
，不难得出 2025年的高考复习策略：不论是第一、第二还是第三轮复习,狠抓高中数学的主干知识已没有再商量的余地了．扎扎实实以熟练主干知识为龙头，立足于通性、通法的训练，归宿于数学思想和方法的强化，从而坚守住提高能力这块阵地，就可以以不变应万变，就可以在别人兵荒马乱、上窜下跳的时候，我们显得很从容、冷静和踏实．