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题型一 探索性问题
例1 已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与C2：－＝1有相同的渐近线，点F(2,0)为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点．
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵C2的渐近线方程为y＝±x，
∴＝，
∵c＝＝2，∴a＝1，b＝，
∴双曲线C1的标准方程为x2－＝1.
(2)由已知，A(－1,0)，B(1,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
l过点F(2,0)与右支交于两点，则l斜率不为零，
设l：x＝my＋2，由消元得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
∵l与双曲线右支交于两点，
∴解得m∈，
Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝，
∵k1＝，k2＝≠0，
∴＝＝＝，
∵＝－＝－，
∴my1y2＝－(y1＋y2)，
∴＝＝
＝－，
∴存在λ＝－使得k1＝λk2.
教师备选
(2022·洛阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得kEF＝，
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以kAB＝－，
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－<t<，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由AF⊥BE得·＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，
将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t代入上式，
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)
＝0，
所以5t2＋t－18＝0，解得t＝ (t＝－2舍去)，
满足Δ>0，
所以直线l的方程为y＝－x＋.
思维升华 存在性问题的解题策略
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，经过P(t，0)(t>0)的直线l与C交于A，B两点．
(1)若t＝4，求AP长度的最小值；
(2)设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得·＝－4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设A，由P(4,0)，
可得|AP|2＝2＋y
＝－y＋16
＝(y－8)2＋12≥12，
当y0＝±2时，|AP|取得最小值2.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得y2－4my－4t＝0，
即有y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
设以AB为直径的圆上任一点Q(x，y)，M(x3，0)，
N(x4,0)，
所以Q的轨迹方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝4m2＋2t，
x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝－4m2t＋4m2t＋t2＝t2.
所以Q的轨迹方程化为x2－(4m2＋2t)x＋t2＋y2－4my－4t＝0.
令y＝0，得x2－(4m2＋2t)x＋t2－4t＝0.
所以上式方程的两根分别为x3，x4，
则x3x4＝t2－4t.
由·＝x3x4＝－4，
即有t2－4t＝－4，解得t＝2.
所以存在t＝2，使得·＝－4.
题型二 圆锥曲线的综合问题
例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN的距离的取值范围．
解 (1)设椭圆C：＋＝1的右焦点F2(c，0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆(x－c)2＋y2＝a2，
所以圆心到直线x＋y＋2－1＝0的距离
d＝＝a，
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝c，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设B(m，n)，线段MN的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点，
因为O为△BMN的重心，
则|BO|＝2|OD|＝|OA|，
所以D，
即B到直线MN的距离是原点O到直线MN的距离的3倍．
当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处．
由|OB|＝2，得|OD|＝1，则点O到直线MN的距离为1，点B到直线MN的距离为3.
当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有
两式相减得
＋＝0，
因为D为线段MN的中点，
所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n，
所以k＝＝－，
所以直线MN的方程为y＋＝－，
即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，
所以原点O到直线MN的距离
d＝.
因为＋＝1，所以3m2＝12－4n2，
所以d＝＝
＝.
因为0<n2≤3，所以3<≤2，
所以≤<，
所以≤3d<3，
即点B到直线MN的距离的取值范围为.
教师备选
(2022·开封模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足＝(0，－2)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若||，||，||成等差数列，求该数列的公差．
解 (1)由题设知F，设点P(x0，y0)，
由＝(0，－2)，即＝(0，－2)，
∴x0＝，y0＝－2，代入y2＝2px，
得4＝p2，又p>0，
∴p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l：y＝2x＋m，则
消去y得4x2＋(4m－4)x＋m2＝0，
满足Δ＝(4m－4)2－16m2＝－32m＋16>0，
即m<，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝1－m，x1x2＝，
若||，||，||成等差数列，
则||＋||＝2||，
即x1＋x2＋2＝4，即3－m＝4，m＝－1.
即x1＋x2＝2，x1x2＝，
又∵公差d满足2d＝||－||＝x2－x1，
而|x2－x1|＝＝，
∴2d＝±，即d＝±.
思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有·＝0.
跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题知，a＝4，＝，
所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4.
所以抛物线C1的方程为y2＝8x，
椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)由题设知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋4.
则⇒y2－8my－32＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.
所以＝
＝＝
＝，
因为直线OC的斜率为＝＝，
所以直线OC的方程为y＝x.
由
得y2＝1，
则y＝1，
同理可得y＝1，
所以y·y＝1，
所以y·y＝，
要使S1∶S2＝3∶13，
只需＝2，
解得m＝±1，
所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．
课时精练
1．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点为F1，F2，点P为双曲线－＝1上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D.
(1)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2＝1；
(2)是否存在常数λ，使得＋＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则k1＝，k2＝，
因为点P为双曲线－＝1上异于顶点的任意一点，
所以x－y＝4(x0≠±2)，
所以k1k2＝·＝＝1，
即k1k2＝1.
(2)解 由直线PF1的方程为y＝k1(x＋2)，
代入椭圆C：＋＝1，
可得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝
＝4·，
同理可得|CD|＝4·，
因为k1k2＝1，
可得|CD|＝4·，
则＋＝·
＝，
即存在常数λ＝，
使得＋＝恒成立．
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离的乘积为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于P，Q两点，问在x轴上是否存在定点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意可得a＝1，
所以双曲线C：x2－＝1，
所以渐近线方程为bx±y＝0，
设M(x0，y0)，
则·＝，
即＝，
因为M(x0，y0)在双曲线上，
所以x－＝1，
即b2x－y＝b2，
所以＝，
解得b2＝3，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)假设存在D(t，0)，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直，
则可得kPD＋kQD＝0，F(2,0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
当直线l的斜率存在时，直线l：y＝k(x－2)，
由
可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，
所以x1＋x2＝，
x1x2＝，
所以kPD＋kQD＝＋
＝＝0，
即k(x1－2)(x2－t)＋k(x2－2)(x1－t)＝0恒成立，
整理可得k[2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t]＝0，
所以k＝0，
即2×－(t＋2)×＋4t＝0，
所以8k2＋6－4k2(t＋2)＋4t(k2－3)＝0，
所以6－12t＝0，解得t＝，
当直线l的斜率不存在时，t＝也满足题意．
所以存在点D，使得∠PDQ的平分线与x轴或y轴垂直．
3．(2022·承德模拟)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为－