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考试要求 ，．
知识梳理
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A发生⇒B发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)必然事件一定发生．( √ )
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
答案 D
解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．
答案
解析 .
3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验有________个基本事件．
答案 4
解析 这个试验的基本事件为(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，共4个.
题型一 随机事件与基本事件个数
例1 (1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”
这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
答案 A
解析 从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的基本事件个数为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的基本事件有(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共8个．
教师备选
一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．
(1)写出这个试验的基本事件；
(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件？
解 (1)这个试验的基本事件有(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)．
(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个基本事件：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．
思维升华 确定基本事件个数的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
跟踪训练1 (1)下列说法错误的是( )
A．任一事件的概率总在[0,1]内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 D
解析 任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个基本事件．
题型二 事件的关系与运算
例2 (1)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，给出下列说法：
①A⊆B；②A∩B＝∅；③A∪B＝“至少一次中靶”；④A与B互为对立事件．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
解析 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以①④错误，②正确．A∪B＝“至少一次中靶”，③正确．
(2)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则( )
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是
答案 D
解析 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B错误；
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；
事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确．
教师备选
1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；
E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C1与C2对立 B．D1与D2互斥
C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)
答案 C
解析 对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；
对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；
对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；
对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．
2．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；
C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论不正确的是( )
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 C
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.
思维升华 事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件
．
跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是( )
A．至少有1个红球与至少有1个黑球
B．至少有1个红球与都是黑球
C．至少有1个红球与至多有1个黑球
D．恰有1个红球与恰有2个红球
答案 D
解析 对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；
对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是( )
⊆B B．A2＋B＝Ω
C．A3与B互斥 D．A4与对立
答案 C
解析 对于A，1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，
∴B⊆1，故A错误；
对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；
对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，A4＝{4}，＝{1,3,5}，A4与是互斥但不对立事件，故D错误．
题型三 频率与概率
例3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，
[15，
[20，
[25，
[30，
[35，
15)
20)
25)
30)
35)
40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝.
.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
＝.
.
教师备选
某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解 (1)，一年内出险次数小于2的频率为＝，故P(A).
(2)，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝，故P(B).
(3)由所给数据得
保费
a
2a
频率
×＋a×＋×＋×＋×＋2a×＝ ， 5a.
思维升华 (1)概率与频率的关系
(2)随机事件概率的求法
跟踪训练3 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,
110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)根据题意，Y＝460＋×5＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)
＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
课时精练
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 C
解析 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错．
2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为( )
A．% B．%
C．% D．%
答案 A
解析 中国体育代表团成员的疫苗接种率约为≈ 1＝%.
3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事件个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个基本事件．
4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
5．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红球、黑球各一个
答案 D
解析 对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．
6．下列说法不正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则包含两个基本事件
答案 A
解析 对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦