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数学试题（理科）
留意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．使用答题纸时，必需使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清楚．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．已知集合，则等于( )
A. B. C. D.
2．给出如下四个命题：其中不正确的命题的个数是（ ）
①若“且”为假命题，则、均为假命题；
②命题“若，则”的否命题为“若，则”；
③“”的否定是“”；
④在△中，“”是“”的充要条件.
A．4 B．3 C．2 D．1
3．设，若，则下列不等式中正确的是
(A) (B) (C) (D)
4．已知数列满足,前项的和为,关于叙述正确的是( )
A. 都有最小值 B. 都没有最小值
C. 都有最大值 D. 都没有最大值
5． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2 B．1 C. D．
6．给出下面四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①“直线a､b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a､b不相交；
② “直线l垂直于平面内全部直线”的充要条件是：l⊥平面；
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；
④“直线∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知实数满足，则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
8． 已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为
(A) (B)
(C) (D)
9． 函数图象如右图,则函数的单调递增区间为
A． B. C. D.
10． 已知函数有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
11．．若直线通过点，则（ ）
A． B． C． D．
12．设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的全部之和为( ) A. B. C. D.
二、填空题.(本大题共有4个小题，每小题4分，共16分)
13．设，则曲线在处切线的斜率为 .
14．已知等差数列中，有 成立．类似地，在正项等比数列中，有_____________________成立．
15. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .
，，，，
为线段的中点，，，
则直线与平面所成角的大小为________．
三、，、证明过程或推理步骤.
17.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx
求函数f(x)的最大值和最小正周期.
设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.
18.（本小题满分12分）
已知命题：在内，不等式的恒成立；命题:函数
是区间上的减函数，若命题”“是真命题，求实数
的取值范围。
19.（本题满分12分）
B′
如图，在直三棱柱中， =，，点E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。
C′
A′
（I）求证：。
（II）当三棱锥的体积取得最大值时，
B
求二面角的余弦值。
F
E
C
A
20.（本小题满分12分）已知数列满足
(Ⅰ)求数列的通项；
(Ⅱ)若，求数列的前项的和。
21. 设，．
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（II）假如存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（III）假如对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．
莱芜一中51级高三上学期阶段性测试
理科数学参考答案
一、选择题：
1．D.
2． ：②④正确 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A
8．C 【解析】函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数为，再将所得图象向右平移个单位得到函数
9．D
10．C 【解析】做出函数的图象如图，，由图象可知当直线为时，直线与函数只要一个交点，要使直线与函数有两个交点，则需要把直线向下平移，此时直线恒和函数有两个交点，所以，选C.
11．解：D．由题意知直线与圆有交点，则.
另解：设向量，由题意知
由可得
12．解：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，∴，∴另一种情形是，即，得，∴∴满足的全部之和为
二、填空题.
13．解析：=，于是曲线，
，∴在处切线的斜率为：。
14．由算术平均数类比几何平均数，简洁得出.
15.【解析】设，，则，又为等差数列，所以，整理得，代入整理得，，解得，所以双曲线的离心率为。
16．
三、解答题.
17. 解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=
所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）==－, 所以, 由于C为锐角, 所以,
又由于在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以
：由 在上恒成立
令为上减函数，
是区间上的减函数
令
命题”“是真命题，
（I）证明：连由题设知侧面为正方形
又
（4分））
另证：建立空间直角坐标系，证明 （略）
（II）设，当且仅当时取等号，此时E、F分别为AB与BC的中点。 （6分）
以B为原点，BA为轴，BC为轴，为子轴建立空间直角坐标系，则
为平面的一个法向量，且 （8分）
设平面的法向量为
由
：（Ⅰ）
(1)
(2)
(1)-(2)得即(n)，又也适合上式
21.（I）当时，，，，， …
所以, 曲线在处的切线方程为. …
（II）存在，使得成立，等价于：，
考察，，
2
—
+
递减
微小值
递增
1
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数；
（III）对任意的，都有成立, 等价于：
在区间上，函数的最小值不小于的最大值，
由（II）知，在区间上，的最大值为。
，下证当时，在区间上，函数恒成立。
当且时，，
记，， .
当，；当，
，
所以, 函数在区间上递减，在区间上递增，
，即， 所以当且时，成立，
即对任意，都有.
（III）另解：当时，恒成立, 等价于恒成立，