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【试卷综评】从总体上来讲，涉及的学问面广，开卷的起点低，试题的坡度平缓，整体的难度适中，逐题分层把关，具有良好的区分度。试题贯彻了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则，贯彻了“总体保持稳定，深化力气立意，乐观改革创新”的指导思想。试卷保持了立足现行高中教材的一贯风格，在留意对基础学问、基本技能和基本方法全面考查的同时，更突出了对数学思想、数学核心力气进行综合考查，重视对考生学习潜能的考查。反映了命题者的才智与原创精神，是一套高水平的数学试题.
第I卷（选择题50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．
A．i B．-1 C．l D．-i
【学问点】复数运算.
【答案解析】B 解析 ：解：
【思路点拨】由复数的除法运算得：，而，所以，所以选B.
2．已知R是实数集，M=，则NCRM=
A．（1,2） B．[0,2] C． D．[1,2]
【学问点】不等式的解法，函数的值域求法，集合运算.
【答案解析】D 解析 ：解：由得x<0或x2,所以，又
所以NCRM=[1,2]，所以选D.
【思路点拨】先化简集合M、N，再求NCRM.
3．己知函数f（x）=，则f（5）的值为
A． B． C．1 D．
【学问点】分段函数求函数值.
【答案解析】C 解析 ：解：依据题意得：f（5）=
，所以选C.
【思路点拨】依据题中描述的分段函数的意义逐步求得f（5）的值.
4．命题p：若·>0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在及（0，+）上都是减函数，则f（x）在（-，+）上是减函数，下列说法中正确的是
A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题
C．非p为假命题 D．非q为假命题
【学问点】命题真假的推断，复合命题真假的推断.
【答案解析】B 解析 ：解：当与的夹角为0时，所以命题p是假命题；明显
命题q也是假命题；所以选B.
【思路点拨】先推断命题p、q的真假，再推断复合命题的真假.
5．函数y=的图象大致是
【学问点】函数的奇偶性、单调性.
【答案解析】B 解析 ：解：易得函数是奇函数，故排解A、C选项，又当x>0时函数为
时增函数，所以选B.
【思路点拨】先分析函数的奇偶性，再分析函数的单调性，从而确定结果.
6．一个几何体的三视图如下图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为
A． B．
C． D．
【学问点】几何体三视图的理解.
【答案解析】B 解析 ：解：此几何体是底面半径为1的半圆锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为边长为2的正三角形的高，所以体积
【思路点拨】通过观看得此几何体的结构是：底面半径为1的半圆锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为边长为2的正三角形的高
，所以体积，所以选B.
【典型总结】本题考查的学问点是由三视图求体积，其中依据已知中的三视图推断出几何体的外形是解答本题的关键．
7．将函数y= cos（x）的图象上各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是
A． B． C． D．
【学问点】三角函数的图像变换.
【答案解析】D 解析 ：解：由题意得变换后的函数解析式为：
经检验时有最大值，所以选D.
【思路点拨】通过函数y= cos（x）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可．
【典型总结】本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算力气，是基础题．
8．设变量x，y满足约束条件：，则的最大值为
A．10 B．8 C．6 D．4
【学问点】线性规划问题.
【答案解析】B 解析 ：解：画出已知约束条件下的可行域，由直线平移得最优解
代入得z的最大值8，所以选B.
【思路点拨】依据条件画出可行域，再由直线x-3y=0平移的最优解.
9．从抛物线y2= 4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为
A．5 B．10 C．20 D．
【学问点】抛物线的定义、焦半径公式，三角形的面积公式.
【答案解析】B 解析 ：解：依据题意得点P的坐标为：所以
，所以选B.
【思路点拨】由抛物线的定义、焦半径公式求得点P的坐标，从而求出△PMF的面积.
10．己知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为（x），满足（x）<f（x），且 f（x+2）为偶函数， f（4）=l，则不等式f（x）<ex的解集为
A．（-2，+） B．（0．+）
C．（1, ） D．（4,+）
【学问点】利用导数争辩函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
【答案解析】B 解析 ：解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称
∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1
设g（x）= （x∈R）则
又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减
∵f（x）＜ex∴g（x）＜1又∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．
【思路点拨】构造函数g（x）= （x∈R），争辩g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．执行右图所示的程序框图，则输出的结果是 。
【学问点】程序框图描述的意义.
【答案解析】9 解析 ：解：依次写出每次循环的结果为：
（1）s=3,k=3,(2)s=9,k=5,(3)s=19,k=7,(4)s=33,k=9,这时s<20
不成立，所以输出结果是9.
【思路点拨】依据程序框图描述的意义依次写出每次循环的结果，直到循环结束，得出结果.
12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5=0 则 。
【学问点】等比数列的通项公式、前n项和公式.
【答案解析】5 解析 ：解：由8a2－a5=0得公比q=2，所以
【思路点拨】依据等比数列的通项公式求得公比q值，再利用前n项和公式求结果.
13．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估量阴影部分的面积约为 。
【学问点】几何概型的概率公式的应用，用频率值估量概率值.
【答案解析】36 解析 ：解：可以估量阴影部分的面积约为：
【思路点拨】用落在阴影部分的黄豆频率估量概率，从而求得阴影部分的面积的估量值.
14．已知x>0，y>0，且=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围
。
【学问点】均值不等式的应用，不等式恒成立问题.
【答案解析】-4<M<2 解析 ：解：由于x>0，y>0，且=1，所以x+2y=
=，要使x+2y>m2+2m恒成立，需使m2+2m<8，解得4<M<2.
【思路点拨】利用均值不等式求得x+2y的最小值，依据x+2y>m2+2m恒成立的条件得m满足的不等式.
15．己知直线x+ y+m=0与圆x2+ y2 =2交于不同的两点A、B，O是坐标原点， ，那么实数m的取值范围是 。
【学问点】直线与圆的位置关系，向量的运算.
【答案解析】 解析 ：解：由于所以
,所以,化简得,所以
夹角，所以圆心到直线的距离，(其中时d=1)解得
【思路点拨】利用向量运算把已知不等式化为,从而得到
夹角，所以圆心到直线的距离，(其中时d=1)解得
.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
16．（本小题满分12分）△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、．b．c，己知A=，，b=1。,
（1）求a的长及B的大小：
（2）若0<x<B，求函数的值域．
【学问点】余弦定理化简求值，二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和的正弦函数公式.
【答案解析】（1）（2）
解析 ：解：（1）由余弦定理得： -----2分
------------4分
--------6分
（2） -----7分
= ------------9分
由 （1）得 --------11分
函数的值域为 ----------12分
【思路点拨】（1）由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，得到a与b相等，依据等边对等角得到A与B相等，进而得到B的度数；
（2）由（1）求出的B的度数，得到x的范围，把所求函数解析式的第1项利用二倍角的正弦函数公式化简，第2，3项提取后，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，由x的范围，得出这个角的范围，依据角度的范围求出正弦函数的值域即可得到f（x）的值域．
17．（本小题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学录中有一个数据模糊．，无法确认，在图中以x表示．，
甲组 乙组
（1）假如x=7，求乙组同学去图书馆学均数和方差；
（2）假如x=9，从学习次数大于8的同学中选两名同学，求选
出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于
20的概率．
【学问点】古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用.
【答案解析】（1）平均数为9，方差为（2）
解析 ：解：（1） -------2分
-------6分
（2）设学习次数大于8的同学共有6名，设为a、b、c、d、e、f，从中任选两名，则
{，，}共15种. --------9分
设A=“两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”
则A={（9,12），（11，12）,(12,9)（12,12）}共4种. ---------11分
所以 ----------------12分
【思路点拨】（1）假如x=7，直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学均数和方差．
（2）求出全部的基本大事共有4×3个，满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的基本大事有10个，依据古典概型概率计算公式求得结果．
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD足直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD;
（1）求证：AB⊥PD；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出E点的位置，并加以证明，若不存在，说明理由．
【学问点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【答案解析】（1）略（2）E为PB的中点.
解析 ：解：（1）由于PA平面ABCD,ABPA平面ABCD,所以 ------3分
,所以平面PAD ------- 5分
PD平面PAD,所以ABPD. -------------6分
（2）设E为PB的中点，则AEPCD --------7分
取PC中点F，连接AE、EF、DF.
由于E、F为PB、PC中点，所以EFBC,EF=, --------9分
ADBC,BC=.
所以四边形ADFE为平行四边形，所以AEDF. ---------11分
AE不在平面PDC中，DF在平面PCD中，所以AE平面PCD. -------12分
【思路点拨】（1）由PA⊥平面ABCD，推知PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而有AB⊥平面PAD，证得AB⊥PD．
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连接AE，EF，DF，则EF是△PBC中位线．可推知四边形EFDA是平行四边形，转化出AE∥DF．再由线面平行的判定定理得证．
19．（本小题满分12分）已知等差数列的首项al=1，公差d>0，且其次项、第五项、第
十四项分别是一个等比数列的其次项、第三项、第四项，
（1）求数列的通项公式：
（2）设是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出t：若不存在，请说明理由．
【学问点】等差数列的通项公式；裂项法求和；
【答案解析】（1）（2）适合条件的t的最大值为5.
解析 ：解：（1）由题意得整理得 ----2分
解得d=0(舍去),d=2. ---------4分
。 ----------5分
（2） --------6分
------8分
---------9分
---------10分
假设存在整数t满足总成立，即，所以t<6. ------11分
又适合条件的t的最大值为5. -----------12分
【思路点拨】（1）由题意得整理后可解得d=2. 然后求出通项即可.
（2）由 求出
假设存在整数t满足总成立，即，所以t<6，可求得t的最大值为5.
20．（本小题满分13分）已知a>0，函数。
（1）若函数在x=l处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函数的单调递增区间：
（3）在（1）的条件下，若对任意x∈[l，2]，恒成立，求实数b的取值组成的集合．
【学问点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．
【答案解析】
解析 ：解：：（1）由已知即解得．…（2分）
又由于a＞0，所以．…（3分）
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（4分）
＝，
①当2a＞a+1，即a＞1时，
由f'（x）＞0得x＞2a或0＜x＜a+1，
因此函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）．
②当2a＜a+1，即0＜a＜1时，
由f'（x）＞0得x＞a+1或0＜x＜2a，
因此函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）．
③当2a=a+1，即a=1时f'（x）≥0恒成立（只在x=2a处等于0），
所以函数在定义域（0，+∞）上是增函数．…（7分）
综上：①当a＞1时，函数f（x）的单调增区间是（0，a+1）和（2a，+∞）；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间是（0，2a）和（a+1，+∞）；
③当a=1时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）．…（8分）
（3）当a＝时，，
由（2）知该函数在(0，)上单调递增，
因此在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到．…（8分）
又f(1)＝−＝−5，…（10分）
若要保证对任意x∈[1，2]，f（x）-b2-6b≥0恒成立，
应当有-5≥b2+6b，即b2+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，…（12分）
因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（13分）
【思路点拨】（1）由已知f'（1）=3，能求出a的值．
（2）由
＝，依据a的取值范围进行分类争辩，能求出函数f（x）的单调递增区间．
（3）当a＝时，，
由该函数在(0，)上单调递增，知在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到，由此能求出实数b的取值组成的集合．
21．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2 =8y的焦点．
（I）求椭圆C的方程;
（II） P（2，3），Q（2，－3）是椭圆上两点，A、B
是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值：
（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
【学问点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．
【答案解析】解析 ：解：：（Ⅰ）设C方程为 (a＞b＞0)，则b＝2．
由，a2＝c2+b2，得a=4
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x+t，
代入，得x2+tx+t2-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4…（6分）
由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12．
∴
由此可得：四边形APBQ的面积S＝