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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2021•辽宁）已知集合A{x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}则A∩B=（ ）
A．
{x|﹣1＜x＜2}
B．
{x|x＞﹣1}
C．
{x﹣1＜x＜1}
D．
{x|1＜x＜2}
考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
利用交集的定义：由全部的属于两个集合的公共元素组成的集合；求出交集．
解答：
解：∵A={x|x＞1}，B={x|﹣1＜x＜2}
∴A∩B={x|1＜x＜2}
故选D
点评：
本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义，求出集合的交集、并集、补集．
2．（5分）（2021•丽水一模）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ）
A．
﹣1﹣2i
B．
﹣1+2i
C．
1﹣2i
D．
1+2i
考点：
复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题．
分析：
复数方程同除i，右侧复数的分子、分母同乘复数i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．
解答：
解：由z•i=2﹣i得，，
故选A
点评：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算力气，是基础题．
3．（5分）（2021•丽水一模）某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（ ）
A．
10
B．
12
C．
100
D．
102
考点：
程序框图．
专题：
图表型．
分析：
依据程序框图得S=0+2=2，i=2×1+1=3，依此类推，一旦不满足推断框的条件就退出循环体，执行输出语句即可．
解答：
解：S=0+2=2，i=2×1+1=3，
S=2+2=4，i=2×3+1=7，
S=4+2=6，i=2×7+1=15，
S=6+2=8，i=2×15+1=31，
S=8+2=10，i=2×31+1=63，
S=10+2=12，i=2×63+1=127，
由于127＞100，退出循环，输出S=12
故输出的S的值为12．
故选B．
点评：
本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题．
4．（5分）（2021•烟台一模）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（ ）
A．
0
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
简洁线性规划．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
本题主要考查线性规划的基本学问，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最大值．
解答：
解：约束条件 的可行域如下图示．
由得A（1，2）．
由图易得目标函数z=2x+y在A（1，2）处取得最大，最大值4，
故选C．
点评：
在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
5．（5分）（2021•中山一模）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（ ）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．
专题：
计算题；综合题．
分析：
分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后依据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．
解答：
解：2a＞2b⇒a＞b，
当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，
反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．
故选B．
点评：
本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的推断，是基础题．
6．（5分）（2021•丽水一模）设m，n为两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论成立的是（ ）
A．
m∥n且m∥α，则n∥α
B．
m⊥n且m⊥α，则n∥α
C．
m⊥n且m∥α，则n⊥α
D．
m∥n且m⊥α，则n⊥α
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
题目中给出的四个选项是对空间中两条直线及一个平面位置关系的判定，说明一个命题不正确，结合实物图形举出反例即可，选项A、B、C均可举出反例，选项D直接利用线面垂直的性质判定．
解答：
解：选项A不正确，由m∥n，且m∥α可得到n∥α或n⊂α；
选项B不正确，由m⊥n，且m⊥α可得到n∥α或n⊂α；
选项C不正确，由m⊥n，且m∥α可得到n∥α或n⊂α或n与α相交；
选项D考查线面垂直的性质定理，即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
故选D．
点评：
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，考查了直线与平面的位置关系，考查了同学的空间想象力气，练习了举反例排解的方法，此题属中档题．
7．（5分）（2021•丽水一模）在某次大型活动期间，随机分派甲、乙、丙、丁四名志愿者分别担当A、B、C、D四项不同的工作，则甲担当D项工作且乙不担当A项工作的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
列举法计算基本大事数及大事发生的概率．
专题：
概率与统计．
分析：
由题意可得总的分法种数为种，符合条件的共共种，由古典概型的概率公式可得答案．
解答：
解：由题意，由于甲担当D项工作，故只需给乙、丙、丁支配担当A、B、C三项不同的工作，
还要满足乙不担当A项工作，可从B、C中选一个给乙，剩余的全排列，共种分法，
而若不考虑限制，总的排法为种，故所求概率为P===．
故选A
点评：
本题考查古典概型的概率公式，属基础题．
8．（5分）（2021•丽水一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
余弦定理．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
依据余弦定理，化简可得ccosA+acosC=b，从而将等式3bcosA=ccosA+acosC化简得到cosA=＞0，由同角三角函数的平方关系算出sinA=，再由商数关系即可得到tanA的值．
解答：
解：∵△ABC中，由余弦定理得
ccosA+acosC=c×+a×=b
∴依据题意，3bcosA=ccosA+acosC=b
两边约去b，得3cosA=1，所以cosA=＞0
∴A为锐角，且sinA==
因此，tanA==
故选：C
点评：
本题给出三角形中的边角关系式，求tanA的值．着重考查了余弦定理解三角形、同角三角函数的基本有关系等学问，属于基础题．
9．（5分）（2021•丽水一模）若双曲线的右焦点F到一条渐近线的距离是点F到右顶点的距离与点F到中心的距离的等差中项，则离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
双曲线的简洁性质．
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
依据双曲线的标准方程，算出右焦点F到一条渐近线的距离为b，结合题意得c﹣a、b、c成等差数列，由此可得2b=2c﹣a，平方后依据b2=c2﹣a2化简整理，得5a=4c，由此即可算出该双曲线的离心率．
解答：
解：设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）
可得双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∴右焦点F到一条渐近线的距离为=b
因此c﹣a、b、c成等差数列，
∴2b=（c﹣a）+c，平方得4b2=（2c﹣a）2
∵b2=c2﹣a2，
∴4c2﹣4a2=4c2﹣4ac+a2，整理得5a=4c
因此，该双曲线的离心率e==
故选：A
点评：
本题给出双曲线右焦点F到一条渐近线的距离是点F到右顶点的距离与点F到中心的距离的等差中项，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简洁几何性质等学问，属于基础题．
10．（5分）（2021•丽水一模）如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形 ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（ ）
A．
B．
[﹣6，6]
C．
D．
[﹣4，4]
考点：
向量在几何中的应用．
专题：
计算题；压轴题；转化思想；平面对量及应用．
分析：
通过圆的方程求出圆的圆心与半径，求出ME，OM，利用向量的三角形法则，化简，然后利用数量积求解范围即可．
解答：
解：由于圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圆的坐标（3，3）半径为2，
所以|ME|=，|OM|==3，
，==，
∵，∴，
∴=6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，
的取值范围是[﹣6，6]．
故选B．
点评：
本题考查向量在几何中的应用，留意向量的垂直与向量的转化，数量积的应用，考查分析问题解决问题的力气，转化思想的应用．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）（2021•丽水一模）在正项等比数列{an}中，若a4•a8=9，则a6= 3 ．
考点：
等比数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用等比数列的性质得到a62=a4•a8=9，开方即可求出a6的值．
解答：
解：∵在正项等比数列{an}中，a62=a4•a8=9，
∴a6=3．
故答案为：3
点评：
此题考查了等比数列的性质，娴熟把握等比数列的性质是解本题的关键．
12．（4分）（2021•丽水一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 108+3π ．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
由题意三视图可知，几何体是由1个圆柱体和2个长方体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
解答：
解：由题意可知几何体是由1个圆柱体和2个长方体组成的几何体．
其中，圆柱体底面半径为1，，6，6，
所以几何体的体积为V=12π×3+2××6×6=108+3π．
故答案为：108+3π．
点评：
本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象力气与计算力气．
13．（4分）（2021•丽水一模）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是 ．
考点：
数量积表示两个向量的夹角．
专题：
平面对量及应用．
分析：
将平方，转化可得=0，=3，令=，=，==，数形结合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即为所求．
解答：
解：由已知得 ．化简①得=0，再化简②可得=3．
令=，=，==，则由=0以及=3，可得四边形OACB为矩形，∠AOC即为向量
与的夹角．
令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC==，
∴∠AOC=，
故答案为 ．
点评：
本题考查向量的数量积、模、夹角的运算．本题的关键是将已知转化，得出 、的关系，属于中档题．
14．（4分）（2021•丽水一模）若函数f（x）=是奇函数，则a= 1 ．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
不妨设x＜0，则﹣x＞0，依据所给的函数解析式求得f（x）=x2+x，而由已知可得 f（x）=x2+ax，由此可得a的值．
解答：
解：函数f（x）是奇函数，不妨设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2+（﹣x）=﹣x2﹣x=﹣f（x），
故f（x）=x2+x．
再由已知可得 f（x）=x2+ax，∴a=1，
故答案为 1．
点评：
本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，函数的奇偶性的定义，属于基础题．
15．（4分）（2021•丽水一模）为了了解某地区高三同学的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下．依据下图可得这100名同学中体重在[，]的同学人数是 40 ．
考点：
频率分布直方图．
专题：
计算题．
分析：
首先计算出体重在[，]的同学的频率，即体重在[，]范围的个小矩形面积之和，再乘以抽查的同学总数即得体重在[，]的同学人数
解答：
解：体重在[，]范围的个小矩形面积之和为：（+++）×2=，
即体重在[，]，
所以体重在[，]的同学人数是 100×=40
故答案为：40
点评：
本题考查频率分布直方图，属基本学问、基本运算的考查．
16．（4分）（2021•丽水一模）若圆M：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）上有且只有三个点到直线的距离为2，则r= ．
考点：
直线与圆的位置关系．
专题：
直线与圆．
分析：
先求出圆心（3，0）到直线的距离，再依据圆上有且只有三个点到直线的距离为2，求出半径．
解答：
解：圆心（3，0）到直线的距离为 =，
圆M：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）上有且只有三个点到直线的距离为2，
则直线和圆相交，且圆的半径等于2+，
故答案为 2+．
点评：
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
17．（4分）（2021•丽水一模）若正数a，b满足2a+b=1，则的最大值为 ．
考点：
基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
由2a+b=1，a＞0，b＞0，利用基本不等式可求的范围，令t=，从而所求式子可转化为关于t的二次函数，结合二次函数的性质可求
解答：
解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0
令t=，则由基本不等式可得，=即t
则=
==1﹣2[（2a）b]+
=1﹣2t2+
=﹣2（t﹣）2
结合二次函数的性质可得，当t=取得等号
故答案为：
点评：
本题主要考查了基本不等式及二次函数在求解最值中的应用，解题中要留意换元法的应用
三、解答题（本大题共5小题，、证明过程或演算步骤.）
18．（14分）（2021•丽水一模）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．
考点：
三角函数中的恒等变换应用；平面对量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再依据周期求得ω的值．
（Ⅱ）求得 方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．
解答：
解：（Ⅰ） =2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx=，
由于 T=4π，所以，ω=．…（6分）
（Ⅱ） 方程2t2﹣t﹣1=0的两根为 ，
由于 ，所以 sinx0∈（﹣1，1），所以，即