【解析版】湖北省咸宁市四校2021届高三上学期12月月考数学文试题.doc

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参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合A={﹣4，a2}，B={9，﹣1﹣a，2}，若A∩B={9}，则实数a的值为（　　）
　
A．
﹣3
B．
3
C．
±3
D．
以上都不正确
考点：
集合关系中的参数取值问题．
专题：
计算题；分类争辩．
分析：
依据两个集合的交集的定义，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，最终依据集合中元素的互异性经过检验得到满足题意a值即可．
解答：
解：∵A∩B={9}，
∴a2=9
∴a=±3，
当a=3时，∵A={﹣4，9}，B={9，﹣4，2}，A∩B={﹣4，9}，不合题意；
当a=﹣3时，∵集合B中：9，2，2，由集合中元素的互异性，可得不合题意；
故选D．
点评：
本题主要考查集合中参数的取值问题，两个集合的交集的定义，集合中元素的互异性，同学做题时留意利用元素的特点推断得到满足题意的a的值．
　
2．（5分）（2006•安徽）设a，b∈R，已知命题p：a=b；命题q：，则p是q成立的（　　）
　
A．
必要不充分条件
B．
充分不必要条件
　
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的推断．
分析：
命题q中，不等式两侧均为和的形式，只需将不等式左边开放，毁灭乘积形式，再利用基本不等式即可．
解答：
解：∵
当且仅当a=b时等号成立．
命题p：a=b⇒命题q：，反之不成立．
故选B．
点评：
本题考查基本不等式及充要条件的推断，属基本题．
　
3．（5分）函数f（x）=sin2x﹣2sinx+3，x∈[0，π]的值域为（　　）
　
A．
R
B．
[2，+∞）
C．
[2，6]
D．
[2，3]
考点：
复合三角函数的单调性．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
换元法：令sinx=t，由x∈[0，π]，可得t∈[0，1]，进而可得y=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，由二次函数区间的最值可得答案．
解答：
解：由题意，令sinx=t，由x∈[0，π]，可得t∈[0，1]，
故函数可化为y=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，
由二次函数的性质可得，函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为t=1，
故在t∈[0，1]上单调递减，故当t=0时，y取最大值3，当t=1时，y取最小值2，
故原函数的值域为：[2，3]，
故选D
点评：
本题考查复合三角函数的单调性和二次函数区间的最值，属中档题．
　
4．（5分）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
　
A．
4π
B．
5π
C．
8π
D．
10π
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
先由三视图确定此几何体的外形，为底面半径为，高为2的圆柱，再利用球与圆柱的对称性，可得外接球的半径，最终由球的表面积计算公式即可得所求表面积
解答：
解：由三视图可知该几何体时一个底面半径为，高为2的圆柱，
依据球与圆柱的对称性，可得外接球的半径R==，
∴S=4πR2=5π
故选 B
点评：
本题考查了三视图的识别，利用三视图争辩直观图的性质，球与圆柱的接切问题，球的表面积计算公式，空间想象力气
　
5．（5分）下列说法正确的是（　　）
　
A．
存在α）使sinα+cosα=
B．
y=tanx在R内为增函数
　
C．
y=cos2x+sin（﹣x）是偶函数
D．
y=sin|2x+|最小正周期为π
考点：
命题的真假推断与应用．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
选项A，可得sin（α+）∈（1，]，而∉（1，]，故不行能存在α）使sinα+cosα=；选项B，y=tanx在R内没有单调性；选项C，由诱导公式化简后可证原函数是偶函数；选项D，函数y=sin|2x+|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移个单位得到，没有周期性．
解答：
解：选项A，sinα+cosα=sin（α+），当α∈（0，）时，α+∈（，），
故可得sin（α+）∈（，1]，所以sin（α+）∈（1，]，而∉（1，]，
故不行能存在α）使sinα+cosα=，故A错误；
选项B，y=tanx在（kπ﹣，kπ+），k∈Z内单调递增，但在R内没有单调性，故B错误；
选项C，记y=f（x）=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx，可得f（﹣x）=cos2（﹣x）+cos（﹣x）=f（x）
故可得原函数是偶函数，故C正确；
选项D，函数y=sin|2x+|的图象可由y=sin|2x|的图象向左平移个单位得到，
而函数y=sin|2x|为偶函数，其图象关于y轴对称，没有周期性，故函数y=sin|2x+|没有周期性，故D错误．
故选C
点评：
本题考查命题真假的推断与应用，涉及三角函数的学问，属基础题．
　
6．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（　　）
　
A．
（3，﹣3）
B．
（﹣4，11）
C．
（3，﹣3）或（﹣4，11）
D．
不存在
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 解之即可求出a和b的值．
解答：
解：对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴，
解得 或 ，
验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，
故选B．
点评：
把握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的力气，属于中档题．
　
7．（5分）已知向量，=（m，﹣1），m∈R，则△ABC面积的最小值为（　　）
　
A．
1
B．
2
C．
D．
不存在
考点：
向量在几何中的应用．
专题：
平面对量及应用．
分析：
由已知中两个向量的坐标，可得向量，=（m，﹣1）的模均为，且两个向量垂直，代入三角形面积公式，结合两次函数的性质，可得△ABC面积的最小值
解答：
解：∵向量，=（m，﹣1）
则||=||=
且•=m﹣m=0，
即⊥
∴△ABC面积S=•=（1+m2）
当m=0时，△ABC面积的最小值为
故选C
点评：
本题考查的学问点是向量在几何中的应用，其中求出两个向量的模及夹角，进而代入三角形面积公式，求出△ABC面积的表达式是解答的关键．
　
8．（5分）若方程2a•9sinx+4a•3sinx+a﹣8=0有解，则a的取值范围是（　　）
　
A．
a＞0或a≤﹣8
B．
a＞0
C．
D．
考点：
函数的值域．
分析：
含有参数的方程有解问题可以和函数值域建立联系，需要留意三角函数的有界性．
解答：
解：若方程2a•9sinx+4a•3sinx+a﹣8=0有解，则
等价于求的值域
∵
∴2•9sinx+4•3sinx+1
则a的取值范围为
故选D．
点评：
等价转化思想是数学重要思想之一，含有参数的方程有解问题通常可以和函数值域建立联系．留意三角函数的有界性：sinx∈[﹣1，1]．
　
9．（5分）已知集合A={a1，a2，a3…an}，记和ai+aj（1≤i≤j≤n）中全部不同值的个数为M（A），如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．对于集合B={b1，2，b3…bn}，若实数b1，b2…bn成等差数列，则M（B）等于（　　）
　
A．
2n﹣3
B．
2n﹣2
C．
2n﹣1
D．
2n
考点：
进行简洁的合情推理．
专题：
新定义；等差数列与等比数列．
分析：
把 bi+bj （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成图表，严格利用题目给出的新定义，接受列举法来进行求解即可．
解答：
解：对于集合B={b1，b2，b3，…，bn}，若实数b1，b2，b3，…，bn成等差数列，
则 bi+bj （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：
b1+b2，b2+b3，b3+b4，…，bn﹣1+bn，
b1+b2，b2+b4，b3+b5，…，bn﹣2+bn，
…，…，…，
b1+bn﹣2，b2+bn﹣1，b3+bn，
b1+bn﹣1，b2+bn，
b1+bn，
∵数列{bn}是等差数列，
∴b1+b4=b2+b3，b1+b5=b2+b4，…，b1+bn=b2+bn﹣1．
∴其次列中只有 b2+bn 的值和第一列不重复，即其次列剩余一个不重复的值，
同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，
∵第一列共有n﹣1个不同的值，后面共有n﹣1列，
∴全部不同的值有：n﹣1+n﹣2=2n﹣3，故M（B）=2n﹣3，
故选A．
点评：
本题考查进行简洁的合情推理，属于新定义的创新题，主要考查等差数列的定义和性质，题目篇幅长，难于理解是解决这一问题的障碍，属于中档题．
　
10．（5分）（2022•肥城市模拟）在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则A﹣BCD的体积为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
综合题．
分析：
先证明AC⊥面ABD，然后求底面ACD的面积，即可求出体积．
解答：
解：EF⊥DE，EF∥AC∴AC⊥DE，又AC⊥BD∴AC⊥面ABD，
AB=AC=AD=，可求体积：
故选B．
点评：
本题考查椎体体积计算公式，考查空间想象力气，是基础题．
　
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5分）已知1，a，b，c，16成等比数列，则b=　4　．
考点：
等比数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
题目给出的数列是等比数列，设出其公比后利用给出的首项和第5项求出公比，则第3项b可求．
解答：
解：由于1，a，b，c，16成等比数列，
设其公比为q，则16=1×q4，所以q2=4，
则b=1×q2=4．
故答案为4．
点评：
本题考查了等比数列的通项公式，是基础题型，但该题若用等比中项来求，将会毁灭错误的答案，得到b=±4，此时需要考虑把﹣4舍掉，此题也是也错题．
　
12．（5分）（2021•虹口区三模）直线x﹣y+5=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0所截得的弦长等于　2　．
考点：
直线与圆相交的性质．
专题：
计算题；规律型；转化思想；综合法．
分析：
先求出圆心到直线的距离既得弦心距，求出圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，即可求得弦长
解答：
解：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0可变为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，故圆心坐标为（1，2），半径为3
圆心到直线x﹣y+5=0的距离是=2
故弦长的一半是=1
所以弦长为2
故答案为：2．
点评：
本题考查直线与圆相交的性质，解题的关键是了解直线与圆相交的性质，半径，弦心距，弦长的一半构成一个直角三角形，把握点到直线的公式，会用它求点直线的距离．
　
13．（5分）不等式的解集是　{x|0＜x＜1或x＞2}　．
考点：
其他不等式的解法．
专题：
计算题．
分析：
把原不等式化简得 ＞0，利用穿根法求出它的解集．
解答：
解：由不等式可得 ＞0，化简得 ＞0，
解得0＜x＜1或x＞2，故不等式的解集为{x|0＜x＜1或x＞2}，
故答案为 {x|0＜x＜1或x＞2}．
点评：
本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
　
14．（5分）（2021•韶关模拟）在△ABC中，若a=b=1，，则∠C=　　．
考点：
正弦定理；余弦定理．
专题：
计算题．
分析：
运用余弦定理，可以计算出角C的余弦值，再结合∠C∈（0，π），可得∠C=．
解答：
解：依据余弦定理得：
又由于C∈（0，π），
所以∠C=
故答案为：
点评：
本题考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，属于简洁题．
　
15．（5分）观看下列式子：，，，…，依据以上式子可以猜想：　　．
考点：
归纳推理．
专题：
规律型；不等式的解法及应用．
分析：
确定不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最终一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求得结论．
解答：
解：观看下列式子：，，，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最终一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
故可得
故答案为
点评：
本题考查归纳推理，考查同学分析解决问题的力气，属于基础题，
　
16．（5分）设函数f（2x）的定义域为[1，2]，求f（log2x）的定义域
　[4，16]　．
考点：
函数的定义域及其求法；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题：
计算题．
分析：
由函数f（2x）的定义域为[1，2]，可知自变量的范围，进而求得2x的范围，也就知道了log2x的范围，从而求得自变量的范围．
解答：
解：∵函数f（2x）的定义域为[1，2]，
∴2≤2x≤4
∴2≤log2x≤4
∴4≤x≤16
∴f（log2x）的定义域为：[4，16]
故答案为：[4，16]
点评：
本题主要考查抽象函数定义域的求法，要紧扣定义域的定义，同时，谁占了自变量的位置谁就必需满足其要求．
　
17．（5分）（2021•静安区一模）设P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是　﹣1　．
考点：
平面对量数量积的运算．
专题：
平面对量及应用．
分析：
设P（x0，）（x0＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=，由数量积定义可求．
解答：
解：设P（x0，）（x0＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为
|PA|==，|PB|=x0．
∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π﹣∠AOB=
∴==﹣1
故答案为：﹣1
点评：
本题考查平面对量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．
　
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（12分）（2021•潍坊一模）函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．
考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．
专题：
计算题；数形结合．
分析：
（Ⅰ）由图读出A，最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的确定值为四分之一周期，求出周期T，进而求出ω，代入点的坐标求出φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x﹣代入求f（x﹣），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+）的范围，进一步求出最大值．
解答：
解：（Ⅰ）由图知A=2，，则∴
∴f（x）=2sin（x+φ），∴2sin（×+φ）=2，
∴sin（+φ）=1，∴+φ=，∴φ=，
∴f（x）的解析式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
∴
∵∴
∴当即时，g（x）max=4
点评：
给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最终求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos（ωx+φ）+B的形式，从x的范围由里向外扩，始终扩到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看ωx+φ为多少时，取得最值．用到转化化归的思想．
　
19．（12分）某企业拟在2022年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2022年产品的设备折旧、修理等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2022年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数
（2）该企业2022年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
考点：
函数模型的选择与应用．
专题：
应用题；函数的性质及应用．
分析：
（1）依据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．
解答：
解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2
∴
当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150%