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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若p={x|x≤1}，Q={y|y≥﹣1}，则（ ）
A．
P⊆Q
B．
P∩Q=ϕ
C．
CRP⊆Q
D．
P∪（CRQ）=R
考点：
子集与交集、并集运算的转换．
专题：
计算题．
分析：
在数轴上表示集合P与Q，数形结合分析求解．
解答：
解：在数轴上表示集合P，集合Q．
从图形观看：A×；B×；C√；D×．
故选C．
点评：
本题考查子集与集合的交、并、补混合运算．利用数轴进行集合运算直观、形象．
2．（5分）直线的倾斜角是（ ）
A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°
考点：
直线的倾斜角．.
专题：
计算题．
分析：
利用直线的斜率k=tanα即可求得直线x+y+=0的倾斜角．
解答：
解：∵直线x+y+=0的斜率k=tanα=﹣=﹣，
∴α=150°．
故选D．
点评：
本题考查直线的倾斜角，求得直线的斜率是关键，属于基础题．
3．（5分）在数列{an}中，“且c∈R）”是“{an}是等比数列”的（ ）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的推断．.
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由“且c∈R）”，通过举反例可得不能推出“{an}是等比数列”，而由“{an}是等比数列”，可得“且c∈R）”，从而得出结论．
解答：
解：在数列{an}中，由“且c∈R）”，不能推出“{an}是等比数列”，例如 an=0时，故充分性不成立．
由“{an}是等比数列”，设公比为q，则 an=a1•qn﹣1，故可得，“且c∈R）”，故必要性成立．
综上可得，“且c∈R）”是“{an}是等比数列”的 必要不充分条件，
故选B．
点评：
本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，等比数列的定义以及通项公式，属于中档题．
4．（5分）（2021•朝阳区二模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
双曲线的简洁性质．.
专题：
计算题．
分析：
先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
解答：
解：由可知a=4，b=3，c=5，
∴其中一个焦点为（5，0），
一条渐近线方程为，
所以．
故选B．
点评：
本题主要考查双曲线的基本性质，考查点到直线距离公式的运用．属于基础题．
5．（5分）（2021•温州一模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（ ）
A．
y=cos2x+sin2x
B．
y=cos2x﹣sin2x
C．
y=sin2x﹣cos2x
D．
y=cosxsinx
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．.
专题：
计算题．
分析：
依据x以向右取正，以向左为负，所以它向右平移是加，用x+替换原式中的x即得．
解答：
解：由题意得，用x+替换原式中的x，
有：y=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x．
故选B．
点评：
本题考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象变换包括三种变换，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．
6．（5分）（2022•东城区二模）已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．
[﹣，0]
B．
（﹣∞，]
C．
（0，]
D．
（﹣∞，﹣]
考点：
简洁线性规划的应用．.
专题：
计算题；数形结合．
分析：
本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．
解答：
解：满足约束条件的平面区域如图示：
由于y=kx﹣3k过定点D（3，0）．
所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，找到k=﹣
当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0．
又由于直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点．
所以﹣≤k≤0．
故选A．
点评：
在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
7．（5分）（2006•浙江）已知=（ ）
A．
1+2i
B．
1﹣2i
C．
2+i
D．
2﹣i
考点：
复数相等的充要条件．.
分析：
复数为实数的充要条件是虚部为0．和复数相等，求出m、n即可．
解答：
解：∵，
由于m、n是实数，
得
∴，
故选择C．
点评：
本题考查复数的运算及性质，基础题．
8．（5分）（2022•烟台一模）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（ ）
A．
多于4个
B．
4个
C．
3个
D．
2个
考点：
对数函数的图像与性质；函数的周期性．.
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
依据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后依据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．
解答：
解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），
则函数是以2为周期的周期函数，
又由函数是定义在R上的偶函数，
结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，
我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：
由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，
即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，
故选B
点评：
本题考查的学问点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．
9．（5分）在△ABC中，••，则△ABC的外形为（ ）
A．
直角三角形
B．
等边三角形
C．
三边均不相等的三角形
D．
等腰非等边三角形
考点：
三角形的外形推断；平面对量数量积的含义与物理意义．.
专题：
计算题．
分析：
依题意，∠A的角平分线与BC垂直，∠B≠，从而可推断△ABC的外形．
解答：
解：在△ABC中，∵（+）•=0，
∴∠A的角平分线AD与BC垂直，
∴△ABC为等腰三角形；
又•=1×1×cosB=，
∴cosB=≠，
∴∠B≠，
∴△ABC为等腰非等边三角形．
故选D．
点评：
本题考查三角形的外形推断，考查平面对量数量积的含义，理解∠A的角平分线与BC垂直是关键，也是难点，属于中档题．
10．（5分）如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
（1）异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；
（2）D1C⊥AC1；
（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；
（4）在棱AA1上不存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的．
其中正确的个数有（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．.
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
直接利用已知条件推出异面直线所成的角推断（1）的正误；通过直线与平面的位置关系推断（2）的正误；通过直线与平面的平行推断（3）的正误；几何体的体积推断（4）的正误即可．
解答：
解：（1）由题意可知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD1C1是等腰直角三角形，A1B1∥C1D1，异面直线A1B1与CD1所成的角为45°，所以（1）正确．
（2）由题意可知，AD⊥平面DD1C1C，四边形DD1C1C是正方形，所以D1C⊥DC1，
可得D1C⊥AC1；（2）正确；
对于（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点，由于
DC=DD1=2AD=2AB，如图HG，所以E为中点，正确．
（4）设AB=1，则棱柱的体积为：=，当F在A1时，A1﹣BCD的体积为：=，明显体积比为，所以在棱AA1上存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的，所以（4）不正确．
正确结果有（1）、（2）、（3）．
故选C．
点评：
本题考查棱柱的结构特征，几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的推断，考查空间想象力气计算力气．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）设，若f（a）=2，则a= ﹣ ．
考点：
函数的值．.
专题：
计算题．
分析：
由题意可得f（a）==2，解可得a
解答：
解：∵，
∴f（a）==2
解可得a=
故答案为：
点评：
本题主要考查了利用直接代入法求解函数的函数值，属于基础试题
12．（4分）（2022•广州一模）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
考点：
由三视图求面积、体积．.
专题：
计算题．
分析：
几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长分别是2和1的菱形，四棱锥的高是边长为2的正三角形的高，做出体积
解答：
解：由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个对角线长分别是2和1的菱形，面积是
四棱锥的高是边长为2的正三角形的高，高是=
∴四棱锥的体积是，
故答案为：
点评：
本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是还原几何体，看出各个部分的数据，四棱锥的高不好看出．
13．（4分）已知，则cosα= ﹣ ．
考点：
两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．.
专题：
三角函数的求值．
分析：
利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数化简已知等式的左边，求出sinα+cosα=①，两边平方利用完全平方公式化简，得到2sinαcosα=﹣，进而确定出cosα小于0，利用完全平方公式求出sinα﹣cosα=②，联立①②即可求出cosα的值．
解答：
解：∵sin（α+）=（sinα+cosα）=，
∴sinα+cosα=①，
两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，
∴2sinαcosα=﹣，即cosα＜0，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，
开方得：sinα﹣cosα=②，
①﹣②得：cosα﹣．
故答案为：﹣
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握公式是解本题的关键．
14．（4分）设F1、F2，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|=9|PF2|，则P点的坐标为 （5，0） ．
考点：
椭圆的简洁性质．.
专题：
计算题．
分析：
设P（x0，y0）利用椭圆的其次定义可求得|PF1|，|PF2|，利用|PF1|=9|PF2|即可求得点P的横坐标x0，继而可得答案．
解答：
解：设P（x0，y0），
∵椭圆+=1的右准线l2的方程为x====，
∴椭圆+=1的左准线l1的方程为x=﹣；
设点P在l1上的射影为P′，在l2上的射影为P″，
则由椭圆的其次定义得：==e==，
∴|PF1|=|PP′|=（x0+），
同理可得，|PF2|=（﹣x0），
∵|PF1|=9|PF2|，
∴（x0+）=9×（﹣x0），
解得x0=5．
∴y0=0，
∴P点的坐标为（5，0）．
点评：
本题考查椭圆的其次定义，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查规律思维力气与运算力气，属于中档题．
15．（4分）已知f（x），g（x）都是定义R上的函数，且且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，则a= ．
考点：
函数的单调性与导数的关系．.
专题：
导数的概念及应用．
分析：
由已知可推断函数且a≠1）的单调性，即可求出a的取值范围．
解答：
解：令h（x）=，∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴
＜0，
∴函数y=ax在R上是单调递减，∴0＜a＜1．
∵，∴，化为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或．
∵0＜a＜1，∴．
故答案为．
点评：
娴熟把握导数争辩函数的单调性和指数函数的单调性是解题的关键．
16．（4分）若任意x∈A，则，就称A是“和谐”集合，则在集合的全部非空子集中，“和谐”集合的概率是 ．
考点：
列举法计算基本大事数及大事发生的概率；子集与真子集．.
专题：
概率与统计．
分析：
利用集合的性质即可求出全部非空子集的个数，利用“和谐”集合的定义即可得出其个数，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．
解答：
解：集合的全部非空子集共有26﹣1=63个，即基本大事的总数为63．
而上述63个非空子集中属于“和谐”集合的共有以下7个：{﹣1}，{1}，{，2}，{，2，1}，{﹣1，1}，{，2，﹣1}，{，2，﹣1，1}，即“和谐”集合这个大事包含的基本大事的个数是7，所以“和谐”集合的概率P==．
故答案为．
点评：
正确理解“和谐”集合的定义，娴熟把握集合的性质求出全部非空子集的个数及典概型的概率计算公式是解题的关键．
17．（4分）在等差数列是{an}中，已知a4与a2与a8的等比中项，a3+2是a2与a6的等差中项，Sn是前n项和，则满足的全部n值的和为 35 ．
考点：
等差数列与等比数列的综合；数列的求和．.
专题：
压轴题；等差数列与等比数列．
分析：
由a4是a2与a8的等比中项，a3+2是a2与a6的等差中项，可求得公差、首项，进而得到通项a