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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）等比数列{an}中，已知a4=5，则a3a5=（ ）
A．
10
B．
25
C．
50
D．
75
考点：
等比数列的性质．
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等比数列的性质可知，a3a5=a42，结合已知可求a4，进而可求结果．
解答：
解：由等比数列的性质可知，a3a5=a42
∵a4=5
∴a3a5=25
故选B
点评：
本题主要考查了等比数列的性质的简洁应用，属于基础试题
2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，b=4，C=120°，则△ABC的面积是（ ）
A．
12
B．
6
C．
D．
考点：
余弦定理；正弦定理的应用．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
由已知a，b及sinC的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：
解：∵a=6，b=4，C=120°，
∴S△ABC=absinC=×6×4×=6．
故选D
点评：
此题考查了三角形的面积公式，娴熟把握面积公式是解本题的关键．
3．（5分）一个球的外切正方体的全面积等于6cm2，则此球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
球的体积和表面积；棱柱的结构特征．
专题：
计算题．
分析：
依据已知中正方体的全面积为6cm2，一个球内切于该正方体，结合正方体和球的结构特征，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．
解答：
解：∵正方体的全面积为6cm2，
∴正方体的棱长为1cm，
又∵球内切于该正方体，
∴这个球的直径为1cm，
则这个球的半径为，
∴球的体积V==（cm3），
故选C．
点评：
本题考查的学问点是球的体积，其中依据正方体和球的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键．
4．（5分）（2022•北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．
a1+a3≥2a2
B．
C．
若a1=a3，则a1=a2
D．
若a3＞a1，则a4＞a2
考点：
等比数列的性质．
专题：
探究型．
分析：
a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．
解答：
解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；
，∴，故B正确；
若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；
若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确
故选B．
点评：
本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acosB=bcosA，则△ABC是（ ）
A．
等腰三角形
B．
直角三角形
C．
等腰直角三角形
D．
等腰或直角三角形
考点：
正弦定理；三角形的外形推断．
专题：
计算题．
分析：
把已知的等式利用正弦定理化简后，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式变形，由A和B都为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到A=B，依据等角对等边可得此三角形为等腰三角形．
解答：
解：∵==2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，
∴acosB=bcosA变形得：sinAcosB=sinBcosA，
整理得：sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，
又A和B都为三角形的内角，
∴A﹣B=0，即A=B，
则△ABC为等腰三角形．
故选A
点评：
此题考查了三角形外形的推断，涉及的学问有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的判定，以及正弦函数的图象与性质，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．
6．（5分）一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
考点：
斜二测法画直观图．
专题：
计算题；作图题．
分析：
可依据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．
解答：
解：由题意，直观图的面积为，
由于直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是
故选C
点评：
本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图力气和运算力气．
7．（5分）若a，b，c∈R，且b＜a＜0，则下列四个不等式：
（1）a+b＜ab；
（2）|a|＞|b|；
（3）a+c＞b+c；
（4）．
其中正确的是（ ）
A．
（1）（2）
B．
（2）（3）
C．
（1）（3）
D．
（3）（4）
考点：
不等关系与不等式．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
不妨假设a=﹣1，b=﹣2，检验可得（1）、（3）正确，（2）不正确．再令c=0，可得（4）不正确，从而得出结论．
解答：
解：不妨假设a=﹣1，b=﹣2，则得 a+b=﹣3＜ab=2，故（1）正确．
由于此时|a|=1，|b|=2，故（2）不正确．
再由不等式的性质可得（3）a+c＞b+c正确．
当c=0时，可得 ，故（4）不正确，
故选C．
点评：
本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排解不符合条件的选项，得到符合条件
的选项，是一种简洁有效的方法，属于基础题．
8．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．
若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B．
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
D．
若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线；
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，而这3个点在同一条直线上，则这两个平面可能平行或相交；
C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行或相交，例如：天花板与两个相交平面的位置关系；
D．若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行正确．利用线面平行的判定与性质定理可以证明．
解答：
解：A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线可能平行、相交或为异面直线，故不正确；
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，而这3个点在同一条直线上，则这两个平面可能平行或相交，故不正确；
C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行或相交，例如：天花板与两个相交平面的位置关系；
D．若一条直线和两个相交平面都平行，则此直线与这两个平面的交线平行正确．证明如下：
已知：α∩β=l，a∥α，a∥β．
求证：a∥l．
证明：过直线分别作平面γ，π满足：γ∩β=b，γ∩π=c．
∵a∥β，∴a∥b．
又∵a∥α，b⊄α，
∴b∥α，
又b⊂β，β∩α=l，
∴b∥l，
∴a∥l．
点评：
娴熟把握空间中线面的位置关系是解题的关键．
9．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为（ ）
A．
10
B．
11
C．
12
D．
13
考点：
等差数列的前n项和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由S6＞S7＞S5，利用等差数列的前n项和公式可得a7＜0，a6+a7＞0．进而得到，=6（a6+a7）＞0．据此满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为12．
解答：
解：∵S6＞S7＞S5，∴，
∴a7＜0，a6+a7＞0．
∴，=6（a6+a7）＞0．
∴满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为12．
故选C．
点评：
娴熟把握等差数列的前n项和公式和基本性质是解题的关键．
10．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（ ）
（1）EP⊥AC；
（2）EP∥BD；
（3）EP∥面SBD；
（4）EP⊥面SAC．
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．
可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．
（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不行能EP∥BD；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．
解答：
解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不行能EP∥BD，因此不正确；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相冲突，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．
故选B．
点评：
娴熟把握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n（n∈N*），则a2= 2 ．
考点：
数列的概念及简洁表示法．
专题：
计算题．
分析：
直接由题目给出的Sn=2n 求出a1，然后由a2=S2﹣S1求得a2．
解答：
解：由Sn=2n，得a1=S1=2，则a2=S2﹣a1=2×2﹣2=2．
故答案为2．
点评：
本题考查了数列的概念即简洁表示法，考查了利用数列的前n 项和求通项，是基础题．
12．（4分）（2021•东城区一模）在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于= 42 ．
考点：
等差数列的性质．
专题：
计算题．
分析：
由等差数列的通项公式化简a2+a3=13，得到关于首项和公差的关系式，把首项的值当然即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的通项公式把所求的式子化为关于首项和公差的关系式，将首项和公差的值代入即可求出值．
解答：
解：由a2+a3=2a1+3d=13，又a1=2，
得到3d=9，解得d=3，
则a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=6+36=42．
故答案为：42
点评：
此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．
13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=45°，B=60°，a=2，则b= ．
考点：
正弦定理．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
由A，B的度数求出sinA与sinB的值，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．
解答：
解：∵A=45°，B=60°，a=2，
∴由正弦定理=得：b===．
故答案为：
点评：
此题考查了正弦定理，娴熟把握正弦定理是解本题的关键．
14．（4分）已知正数x，y满足：x+2y=20，则xy的最大值为 50 ．
考点：
基本不等式．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
直接利用基本不等式可求出xy的取值范围，留意等号成立的条件，从而求出xy的最大值．
解答：
解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y=20≥2 ，
∴0＜xy≤50，当且仅当x=2y时取等号，
即xy的最大值是50．
故答案为：50．
点评：
本题主要考查了基本不等式，解题时留意“一正、二定、三相等”是基本不等式的前提，属于基础题．
15．（4分）（2022•厦门模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是 π ．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
图表型．
分析：
三视图复原可知几何体是圆锥的一半，依据三视图数据，求出几何体的表面积．
解答：
解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该圆锥的侧面开放图为扇形，所以侧面积为×2×2π=2π，底面积为π，
观看三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为×2×2×=，
则该几何体的表面积为π+．
故答案为：π．
点评：
本题考查三视图求表面积，考查空间想象力气，计算力气，是基础题．
16．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC把△ACD折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ．
考点：
直线与平面所成的角．
专题：
空间位置关系与距离；空间角．
分析：
先作出直线BD与面ABC所成角，计算三棱锥的体积，求出其最大值，可得△BOD是等腰Rt△，从而可得结论．
解答：
解：如图所示，O为正方形ABCD的中心，
∵BO⊥AC，DO⊥AC，
∴AC⊥面BOD，
∵AC⊂面ABC，∴面BOD⊥面ABC
∴BD在面ABC的射影是BO，∠BDO=φ是直线BD与面ABC所成角．
设∠BOD=θ（0°＜θ＜180°），正方形ABCD的边长为1，则BO=DO=
∴△BOD的面积=BO×DO×sinθ=sinθ．
∴三棱锥体积=S△BOD×AC=sinθ≤，
∴θ=90°时，三棱锥体积最大，此时△BOD是等腰Rt△，
∴φ=45°，即当A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时候，直线BD与面ABC所成角为45°．
故答案为．
点评：
本题考查平面图形的翻折，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，考查同学的计算力气，属于中档题．
17．（4分）已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=a3，a2=1，，则a9+a10= ．
考点：
数列的概念及简洁表示法．
专题：
点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
先令n=1得a3=，结合条件a1=a3，即a1=，解得a1，再令n=2，利用数列的周期性分别求得a9和a10，从而得出答案．
解答：
解：令n=1得a3=，即a1=即a+a1﹣1=0，解得a1=．
再令n=2，得==，⇒=，⇒=，⇒=．
同样地，得=…=．
则a9+a10=．
故答案为：．
点评：
本题主要考查了数列的概念及简洁表示法，递推式，理解数列的周期性方法是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+a+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=5时，解不等式：f（x）＜0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
考点：
二次函数的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（Ⅰ）当a=5时，不等式即 x2+5x+6＜0，解此一元二次不等式求得不等式的解集．
（Ⅱ）由f（x）=x2+ax+a+1＞0的解集为R，可得△=a2﹣4（a+1）＜0，解此不等式求得实数a的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）当a=5时，不等式即 f（x）=x2+5x+6＜0，
解得﹣3＜x＜﹣2，所以，不等式的解集为（﹣3，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（Ⅱ）f（x）=x2+ax+a+1＞0的解集为R，
则有△=a2﹣4（a+1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
解得 ，即实数a的取值范围为（﹣2+2，2+2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
点评：
本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题．
19．（14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是BD中点．
（Ⅰ） 求证：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ） 求二面角C1﹣BD﹣C的正切值．
考点：
二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
专题：
空间位置关系与距离；空间角．
分析：
（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C1OC是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，在Rt△C1OC中，求二面角C1﹣BD﹣C的正切值．
解答：
（Ⅰ）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是BD中点，
∵BC1=DC1，BC=DC，