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一、填空题（每小题5分，共70分）
1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3，5}，B={x|x2﹣4＜0，x∈R}，则A∩B=　{﹣1，1}　．
考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
集合A与集合B的公共部分构成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，1，3，5}，B={x|x2﹣4＜0，x∈R}，能求出A∩B．
解答：
解：集合A={﹣1，1，3，5}，
B={x|x2﹣4＜0，x∈R}={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，
∴A∩B={﹣1，1}．
故答案为：{﹣1，1}．
点评：
本题考查集合的交集的求法，是基础题．解题时要认真审题，认真解答，留意不等式性质的合理运用．
　
2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是　　．
考点：
命题的否定．
专题：
计算题．
分析：
依据命题的否定的规章进行求解，留意“任意”的“否定”为存在；
解答：
解：∵命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”
∵“任意”的否定为“存在”
∴命题的否定为：，
故答案为：
点评：
此题主要考查命题的否定规章，是一道基础题，留意常见的否定词；
　
3．（5分）（2022•江苏一模）已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2﹣y2=2的左准线重合，则p的值为　2　．
考点：
双曲线的简洁性质；抛物线的简洁性质．
专题：
计算题．
分析：
求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值．
解答：
解：抛物线y2=2px的准线为：x=，
双曲线x2﹣y2=2的左准线为：x==﹣，
由题意可知，
p=2．
故答案为：2．
点评：
本题考查抛物线与双曲线的准线方程的求法，考查计算力气．
　
4．（5分）已知向量a，b，c满足：|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则a与b的夹角大小是
　120°　
考点：
数量积表示两个向量的夹角；向量的模；数量积推断两个平面对量的垂直关系．
专题：
计算题．
分析：
利用向量垂直的充要条件及向量的数量积公式列出方程，求出夹角余弦，从而求出夹角．
解答：
解：设的夹角为θ
∵，∴
∴即
∴1+
∴1+2cosθ=0
∴cosθ=﹣
∴θ=120°
故答案为120°
点评：
本题考查两个向量垂直的充要条件及向量的数量积公式．
　
5．（5分）已知等比数列{an}的公比，则的值为　﹣3　．
考点：
等比数列的性质；等比数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
由等比数列的通项公式可得an=an﹣1q，故分母的值分别为分子的对应值乘以q，整体代入可得答案．
解答：
解：由等比数列的定义可得：=====﹣3，
故答案为：﹣3
点评：
本题考查等比数列的通项公式，整体代入是就问题的关键，属基础题．
　
6．（5分）函数的最小正周期为　2π　．
考点：
两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；三角函数的周期性及其求法．
专题：
计算题．
分析：
将函数解析式利用多项式乘以单项式法则计算后，利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．
解答：
解：f（x）=cosx+sinx=2sin（x+），
∵ω=1，∴T=2π．
故答案为：2π
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，娴熟把握公式及基本关系是解本题的关键．
　
7．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y=xy，则u=x+4y的取值范围是
　[9，+∞）　．
考点：
基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
将x+y=xy代入u=x+4y，消掉y，得到u关于x的函数，在变形利用重要不等式求得．
解答：
解：∵x＞0，y＞0，且x+y=xy
∴，∴x＞1
∴u=x+4y=x+4•=（x﹣1）+（）+5≥9
故答案为：[9，+∞）
点评：
本题考查了不等式的基本性质及均值不等式，属于基本学问，常规题型的考查．
　
8．（5分）已知，则sin（α﹣β）=　　．
考点：
两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．
专题：
计算题．
分析：
sin（α+β）除以sin（α﹣β），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用同角三角函数间的基本关系变形，分子分母同时除以tanβ，将与sin（α+β）的值代入，即可求出sin（α﹣β）的值．
解答：
解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，
=，
∴===，即
=，
解得sin（α﹣β）=﹣．
故答案为：﹣
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握公式及基本关系是解本题的关键．
　
9．（5分）函数f（x）=lgx﹣|x﹣2|的零点个数为　2　．
考点：
根的存在性及根的个数推断．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
函数f（x）=|lgx|+x﹣2的零点可转化成f（x）=0根的个数，然后转化成函数y=|lgx|与函数y=2﹣x的交点的个数，作出函数y=2﹣x与函数y=|lgx|的图象，结合函数的图推断即可．
解答：
解：f（x）=0⇔|lgx|=2﹣x，
所以f（x）的零点个数即函数y=|lgx|与函数y=2﹣x的交点的个数，
作出函数y=2﹣x与函数y=|lgx|的图象，结合函数的图可知有2个交点，
故答案为：2．
点评：
本题主要考查了函数的零点的个数的推断，同时考查了转化的数学思想，解题的关键是精确作出函数的图象，属于基础试题．
　
10．（5分）（2021•湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为　3　．
考点：
简洁线性规划的应用．
专题：
计算题；压轴题；数形结合．
分析：
依据m＞1，我们可以推断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难推断出满足约束条件
的平面区域的外形，再依据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．
解答：
解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
当x=，y=时，
目标函数z=x+5y取最大值为4，即；
解得m=3
故答案为3
点评：
本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，其中推断出目标函数Z=X+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．
　
11．（5分）已知函数，设a，b∈R，且f（a）+f（b﹣1）=0，则a+b=　1　．
考点：
函数与方程的综合运用．
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
由，知f（x）是R上的奇函数，由f（a）+f（b﹣1）=0，知a+b﹣1=0，由此能求出a+b．
解答：
解：∵，
∴x∈R，f（﹣x）===﹣f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，
∵f（a）+f（b﹣1）=0，
∴a+b﹣1=0，
解得a+b=1．
故答案为：1．
点评：
本题考查奇函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，推导出f（x）是R上的奇函数，是解题的关键．
　
12．（5分）已知，且x+2y=1，则的最小值是．
考点：
两向量的和或差的模的最值．
专题：
计算题．
分析：
依据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果．
解答：
解：∵x+2y=1
∴•=
=
=84y2﹣72y+16
∴当y=时，原式=，
故答案为：，
点评：
本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征．
　
13．（5分）已知数列{an}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是Sn，S11≥0，S12＜0，Sn的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5﹣x）对任意实数x都成立，且y=f（x）的全部零点和恰好为S，则y=f（x）的零点的个数为　15个　．
考点：
根的存在性及根的个数推断；等差数列的通项公式．
专题：
函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：
依据已知结合等差数列的性质，求出数列的公差d，进而求出数列的前n项的是Sn的最大值是S，由函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5﹣x）对任意实数x都成立，分析也函数图象关于直线x=3对称，即函数y=f（x）全部零点的平均数为3，进而求出函数零点的个数．
解答：
解：设数列{an}的公差为d，则d∈Z
∵S11=11•a6≥0，
∴a6=a1+5d=15+5d≥0，
解得d≥﹣3…①
又∵S12=•12=•12=180+66d＜0，
解得d＜…②
由①②得d=﹣3
则Sn=n2+n
则当n=5或n=6时，Sn的最大值是S=45
∵函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5﹣x）对任意实数x都成立
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称
即函数y=f（x）全部零点的平均数为3
又∵y=f（x）的全部零点和恰好为S=45
∴y=f（x）的零点共有=15个
故答案为：15
点评：
本题考查的学问点是函数零点，函数的对称性，等差数列的性质，等差数列的前n项和，是数列与函数的综合应用，难度中档．
　
14．（5分）已知f（x）=x3﹣3x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是　（﹣3，﹣2）　．
考点：
导数的几何意义．
分析：
先对函数f（x）求导，得到函数f（x）的两个极值点和一个拐点，得到函数f（x）的大致图形再分析可得答案．
解答：
解：已知点（1，m）在直线x=1上；由f'（x）=3x2﹣3=0得两个极值点x=±1；
由f''（x）=6x=0；得一个拐点x=0；
在（﹣∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；
切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'（0）=﹣3，方程为：y=﹣3x；L与直线x=1的交点为（1，﹣3）
设过点（1，m）的直线为l
当m＞﹣2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；
当m＜﹣3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；
当﹣3＜m＜﹣2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=﹣3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条
所以m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2
故答案为：（﹣3，﹣2）
点评：
本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率．属难题．
　
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量=（sinB，1﹣cosB）与向量=（2，0）的夹角θ的余弦值为．
（1）求角B的大小；
（2）若，求a+c的取值范围．
考点：
平面对量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．
专题：
解三角形．
分析：
（1）△ABC中，由条件求得=，由此可得B的值．
（2）由以上可得，利用两角和差的正弦公式求得sinA+sinC=sin（A+），依据，求得，由此可得的范围．
解答：
解：（1）△ABC中，由于 ═（sinB，1﹣cosB）=，=（2，0），
∴=，，
所以，．…（4分）
由，可得，即．…（7分）
（2）由于，所以．
所以
=． …（10分）
又，所以．所以，．…（12分）
又，
所以．…（14分）
点评：
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，
属于中档题．
　
16．（14分）如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B=90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1﹣EF﹣B，若M为线段A1C中点．
求证：（1）直线FM∥平面A1EB；
（2）平面A1FC⊥平面A1BC．
考点：
直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
专题：
证明题．
分析：
（I）取A1B中点N，连接NE，NM，证四边形MNEF为平行四边形来猎取MF∥NE，得到线面平行的条件．
（II）依据图形找出线MF与面ABC中的两条相交线垂直即可，由题目中的条件易得．
解答：
证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，
则MN，EF，所以MNFE，
所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）
又由于FM⊄平面A1EB，EN⊂平面A1EB，
所以直线FM∥平面A1EB．（7分）
（2）由于E，F分别AB和AC的中点，
所以A1F=FC，所以FM⊥A1C（9分）
同理，EN⊥A1B，
由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A1B
又由于A1C∩A1B=A1，所以FM⊥平面A1BC，（12分）
又由于FM⊂平面A1FC
所以平面A1FC⊥平面A1BC．（14分）
点评：
考查线面平行与线面垂直的判定定理，以及空间想象力气．
　
17．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得．F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x0，y0）．
（1）求椭圆方程；
（2）当点P在椭圆上运动时，求λ的值使得点Q的轨迹是一个定圆．
考点：
轨迹方程；椭圆的标准方程．
专题：
综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率，建立方程组，求得几何量，从而扩大椭圆的方程；
（2）利用向量学问，确定P的坐标，结合椭圆方程，利用点Q的轨迹是一个定圆，即可求λ的值．
解答：
解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率，
∴，∴，∴=
∴所求椭圆方程为…（6分）
（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y0），∴y=y0．
∵，∴3﹣x0=λ（x﹣3），∴x0=3λ+3﹣λx…（9分）
又∵，∴，即…（12分）
∴当且仅当，即时，点Q在定圆上．…（15分）
点评：
本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查向量学问的运用，考查同学的计算力气，属于中档题．