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参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）已知函数f（x）=lg（﹣x）的定义域为M，函数y=函数的定义域为N，则∁RM∩N=（ ）
A．
[0，1）
B．
（2，+∞）
C．
（0，+∞）
D．
[0，1）∪（2，+∞）
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
先﹣x＞0求出M，再由分段函数定义及解析式表示法求出N，再进行计算．
解答：
解：由﹣x＞0的x＜0，所以函数f（x）的定义域为M=（﹣∞，0），
由分段函数定义及解析式表示法，N={x|x＞2或x＜1}
所以∁RM=[0，+∞），∁RM∩N=[0，1）∪（2，+∞）
故选D
点评：
本题考查了函数定义域求解，集合的基本运算，属于基础题．
2．（3分）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①f（x）=与g（x）=；
②f（x）=|x|与g（x）=；
③f（x）=（x﹣1）0与；
④f（x）=与g（t）=．
A．
①②
B．
②④
C．
②③④
D．
①②④
考点：
推断两个函数是否为同一函数．
分析：
分别推断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
解答：
解：①两个函数的定义域相同，都为{x|x≤0}，与g（x）的对应法则不相同，所以①不是同一函数，排解AD．
②组函数的定义域和对应法则都相同，满足条件．
③组函数的定义域和对应法则都相同，满足条件．
④组函数的定义域和对应法则都相同，满足条件．
故选C．
点评：
本题主要考查函数是否为同一函数的应用，推断的主要标准是推断两个函数的定义域和对应法则是否相同，只要有一个不相同，则不能为同一函数．
3．（3分）设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
认真观看图形，正确选取中x的取值范围必需是[0，2]，y的取值范围必需是[1，2]，由此进行选取．
解答：
解：A 和B中y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故A和B都不成立；
C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故C不成立；
D中，0≤x≤2，1≤y≤2，符合题意，
故选D．
点评：
本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，认真求解．
4．（3分）已知f（x）是定义在实数集R上的增函数，且f（1）=0，函数g（x）在（﹣∞，1]上为增函数，在[1，+∞）上为减函数，且g（4）=g（0）=0，则集合{x|f（x）g（x）≥0}=（ ）
A．
{x|x≤0或1≤x≤4}
B．
{x|0≤x≤4}
C．
{x|x≤4}
D．
{x|0≤x≤1或x≥4}
考点：
函数单调性的性质．
专题：
综合题；不等式的解法及应用．
分析：
将不等式等价变形，利用函数的单调性与零点，转化为具体不等式，即可求得结论．
解答：
解：由题意，f（x）g（x）≥0等价于或
∵f（x）是定义在实数集R上的增函数，且f（1）=0，函数g（x）在（﹣∞，1]上为增函数，在[1，+∞）上为减函数，且g（4）=g（0）=0，
∴或
∴1≤x≤4或x≤0
故选A．
点评：
本题考查解不等式，考查函数的性质，考查分类争辩的数学思想，属于中档题．
5．（3分）（2022•鹰潭一模）不等式ax2﹣2x+1＜0的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）
A．
a＜1
B．
a＜0
C．
0＜a＜1
D．
a≤1
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的推断．
专题：
计算题．
分析：
通过对二次项系数分类争辩求出不等式ax2﹣2x+1＜0的解集非空的充要条件，必要而不充分条件的a的范围应当比a＜1的范围大；得到选项．
解答：
解：要使不等式ax2﹣2x+1＜0的解集非空
当a=0时，不等式为﹣2x+1＜0，其解集为x＞；
当a＞0时，△=4﹣4a＞0即0＜a＜1；
当a＜0时，满足不等式ax2﹣2x+1＜0的解集非空；
所以不等式ax2﹣2x+1＜0的解集非空的充要条件为a＜1；
所以不等式ax2﹣2x+1＜0的解集非空的一个必要而不充分条件应当比a＜1的范围大；
故选D．
点评：
解决二次不等式的问题，应当留意二次项系数为字母时，应当对其分类争辩，是高考常考的题型，属于中档题．
6．（3分）给出下列说法：
①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；
②命题p：“∃x0∈R，使sin x＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；
③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；
④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．
其中正确结论的个数是（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
考点：
命题的真假推断与应用；四种命题间的逆否关系；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的推断．
专题：
探究型．
分析：
①先求出否命题，然后去推断．②利用特称命题和全称命题否定之间的关系推断．③利用充分必要条件的关系推断．④利用复合命题的与简洁命题之间的关系进行推断．
解答：
解：①原命题的否命题为“若α≠，则sin α≠”，当α=时，满足α≠，但sin α=，所以原命题的否命题是假命题，所以①的推断正确．
②特称命题的否定是全称命题，所以¬p：“∀x∈R，sin x≤1，所以②正确．
③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ（k∈Z），所以φ=+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③错误．
④由于，当x∈（0，）时，，此时，所以命题p为假命题．
在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，依据大边对大角关系可得，A＞B，所以命题q为真，所以￢p为真，所以命题￢p∧q为真命题，所以④正确．
故选B．
点评：
在④中，y=sinx+cosx=是我们求三角函数值域时，最常用的公式，本题中对x的范围有限制，故要结合自变量的取值范围，进行推断，命题q要用到正弦定理和三角形中的边角关系．
7．（3分）（2021•湖南）已知函数f（x）=ex﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）
A．
B．
（2﹣，2+）
C．
[1，3]
D．
（1，3）
考点：
函数的零点与方程根的关系．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．
解答：
解：∵f（a）=g（b），
∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3
∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0
即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+
故选B
点评：
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．
8．（3分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
a＜2
B．
a＜4
C．
2≤a＜4
D．
a＞2
考点：
二次函数的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
已知函数f（x）的解析式，存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，依据函数的对称轴和二次函数的图象进行求解；
解答：
解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+ax，开口向下，对称轴为x=﹣=，
x＞1时，一次函数y=2ax﹣5恒过点（0，﹣5），是一条直线，与x轴的交点（，0），
依据存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，
当﹣＜1时，即a＜2，对称轴小于1，开口向下，此时直线y=2ax﹣5，与x轴的交点（
，0），
此时＞，如下图：
确定存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，
满足条件；即a＜2；
当a≥2时，对称轴大于1，存在x1，x2∈R且f（x1）=f（x2）成立，
如下图：
直线y=2ax﹣5在直线l处确定不行，在m处可以，
此时需要：二次函数y=﹣x2+ax，在x=1处的函数值，大于等于一次函y=2ax﹣5数在x=1处的函数值，
可得在x=1处有1+a＞2a﹣5，即2≤a＜4，
综上得a＜4；
故选B；
点评：
此题主要考查二次函数的性质及其图象，考查的学问点比较全面，用到了分类争辩的思想，是一道基础题；
9．（3分）（2021•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（ ）
A．
R＞Q＞P
B．
R＞P＞Q
C．
P＞R＞Q
D．
Q＞P＞R
考点：
不等关系与不等式．
专题：
新定义．
分析：
在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．
解答：
解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
设x＜y，则，所以
所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，
由，得：
取y=，，则x=，
所以，
由于0＜，所以
所以R＞P＞Q．
故选B．
点评：
本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．
10．（3分）已知函数f（x）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）=2，则f（）的值是（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
考点：
函数的值．
专题：
计算题．
分析：
由函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）=2，知f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣=n，f（n）=2，所以=2，解得n=1，由此能求出f（）=6．
解答：
解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，
且f（f（x）﹣）=2，
∴f（x）﹣为一个常数，
令这个常数为n，则有f（x）﹣=n，①
f（n）=2，②
由①得 f（x）=n+，③
②代入③，得=2，
解得n=1，
因此f（x）=1+，
所以f（）=6．
故选B．
点评：
本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，认真解答，留意合理地进行等价转化．
二、填空题
11．（3分）已知函数y=f（x）的定义域为[0，1]，则函数y=f（x﹣1）的定义域为 [1，2] ．
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让x﹣1在函数f（x）的定义域内，求解x的范围即可．
解答：
解：由于函数y=f（x）的定义域为[0，1]，由0≤x﹣1≤1，得：1≤x≤2，
所以函数y=f（x﹣1）的定义域为[1，2]．
故答案为[1，2]．
点评：
本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．
12．（3分）（2022•闸北区一模）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式的解集为 ．
考点：
一元二次不等式的解法．
专题：
计算题；分类争辩．
分析：
依据不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，得到﹣1和2为ax2+bx+c=0的两个根，且得到a小于0，依据韦达定理表示出两根之和和两根之积，用a表示出b和c，把表示出的b和c代入所求的不等式中，依据a小于0，化简后得到关于x的不等式，然后分x大于0和x小于0两种状况考虑，当x小于0时，依据负数的确定值等于它的相反数化简不等式中的确定值，在不等式两边都乘以负数x，得到一个一元二次不等式，求出不等式的解集与x小于0求出交集即为原不等式的解集；当x大于0时，依据正数的确定值等于本身化简确定值，在不等式两边都乘以正数x，得到一个一元二次不等式，化简后得到此不等式无解，综上，得到原不等式的解集．
解答：
解：由不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
得到ax2+bx+c=0的两解为﹣1和2，且a＜0，
依据韦达定理得：﹣=﹣1+2=1，=﹣2，即b=﹣a，c=﹣2a，
则不等式可化为：﹣2a＞﹣a|x|，即﹣2+|x|＜0，
当x＜0时，不等式化为：﹣2﹣x＜0，
去分母得：x2+2x﹣1＜0，即（x+1﹣）（x+1+）＜0，
解得：﹣1﹣＜x＜﹣1+，
则原不等式的解集为：﹣1﹣＜x＜0；
当x＞0时，不等式化为：﹣2+x＜0，
去分母得：x2﹣2x+1＜0，即（x﹣1）2＜0，无解，
综上，原不等式的解集为{x|﹣1﹣＜x＜0}．
故答案为：{x|﹣1﹣＜x＜0}
点评：
此题考查同学机敏运用韦达定理化简求值，考查了分类争辩的数学思想，是一道中档题．
13．（3分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．
考点：
函数恒成立问题．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥ 对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，由=，知对 x∈（﹣∞，λ]恒成立．由此能求出λ的范围．
解答：
解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，
等价于≥ 对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，
∵=，
∴对 x∈（﹣∞，λ]恒成立．
设，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，
∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，
解得λ≤﹣1，或（舍）
当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，
达到最小值时，=，不满足不等式．
因此λ的范围就是 λ≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
点评：
本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，留意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
14．（3分）若a＞b＞c且a+b+c=0，则：
①a2＞ab，
②b2＞bc，
③bc＜c2，
④的取值范围是（，1），
⑤的取值范围是（﹣2，）．
上述结论中正确的是 ①③④⑤ ．
考点：
命题的真假推断与应用；不等关系与不等式．
专题：
计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：
由题意证出a＞0且c＜0，结合不等式的性质进行等价变形，可得a2＞ab且bc＜c2成立，得①③正确；通过举出反例，得到②不正确；将b=﹣a﹣c代入b＞c，进行等价变形证出＞﹣，同理证出＞﹣2，由此即可得到④⑤都是真命题．
解答：
解：∵a＞b＞c且a+b+c=0，
∴a＞0且c＜0
因此，在a＞b的两边都乘以正数a，得a2＞ab，故①正确；
若b=0，a＞0且c＜0，可得b2＞bc不成立，故②不正确；
在b＞c的两边都乘以负数c，得bc＜c2，故③正确；
∵b=﹣a﹣c，∴==﹣1﹣
由于b＞c，即﹣a﹣c＞c，可得a＜﹣2c，所以＞﹣
同理，由﹣a﹣c＜a，得﹣c＜2a，所以＞﹣2
综上可得﹣＜＜﹣2，所以=﹣1﹣∈（，1），得④正确；
由④的分析，可得的取值范围是（﹣2，），⑤也正确
综上所述，正确的命题的序号为①③④⑤
故答案为：①③④⑤
点评：
本题给出不等式满足的条件，推断几个结论的正确性．着重考查了不等式的基本性质、不等式等价变形的原则和命题真假的推断等学问，属于中档题．
15．（3分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的全部整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2021∈[1]；
②﹣3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．
其中，正确结论的是 ①③④ ．
考点：
命题的真假推断与应用．
专题：
压轴题；新定义．
分析：
对各个选项进行分析：①∵2021÷5=402…1；②∵﹣3÷5=﹣1…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可得答案．
解答：
解：①∵2021÷5=402…1，∴2021∈[1]，故①正确；
②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；
③由于整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，
反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．
故答案为：①③④
点评：
本题为同余的性质的考查，具有确定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．
三、解答题
16．（12分）已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，集合B={x|x2﹣5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B能同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B=B；③∅⊊（A∩B）？若存在，求出实数a的值或取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：
交、并、补集的混合运算；集合的包含关系推断及应用．
专题：
计算题．
分析：
对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使得集合A，B能同时满足下列三个条件，再利用A不行以为空集，那么A={2}或A={3}，求出a的值，若毁灭冲突，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．