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数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数i（1﹣2i）=（ ）
A．
.﹣2+i
B．
2+i
C．
2﹣i
D．
﹣2﹣i
考点：
复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题．
分析：
利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．
解答：
解：∵复数i（1﹣2i）=i﹣2i2=2+i，
故选B．
点评：
本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（ ）
A．
∅
B．
{x|0＜x＜3}
C．
{x|1＜x＜3}
D．
{x|2＜x＜3}
考点：
交集及其运算．.
分析：
解出集合N，结合数轴求交集．
解答：
解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，
用数轴表示可得答案D
故选D．
点评：
考查学问点有对数函数的单调性，集合的交集，本题比较简洁
3．（5分）（2021•江西模拟）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．
[e，4]
B．
[1，4]
C．
（4，+∞）
D．
（﹣∞，1]
考点：
命题的真假推断与应用．.
专题：
计算题．
分析：
命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题．命题q是真命题，即方程有解；命题p是真命题，分别参数，求ex的最大值即可．
解答：
解：命题“p∧q”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题，
命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真，∴a≥e1=e；
由命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，
即方程有解，∴△≥0，
16﹣4a≥0．
所以a≤4
则实数a的取值范围是[e，4]
故选A．
点评：
本题考查命题的真假推断与应用、解决方程有解问题、求函数值域．解答的关键是依据复合命题的真值表得出命题p是真命题，且命题q是真命题．
4．（5分）（2021•安徽）若直线 3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
3
D．
﹣3
考点：
圆与圆的位置关系及其判定．.
专题：
待定系数法．
分析：
把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．
解答：
解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），
代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，
∴a=1，
故选 B．
点评：
本题考查依据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．
5．（5分）（2022•湛江模拟）﹣个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（单位cm3）（ ）
A．
B．
C．
D．
π
考点：
由三视图求面积、体积．.
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
由题意推知：几何体是放倒的半个圆锥，依据数据计算其表面积．
解答：
解：几何体是放倒的半个圆锥，
底面半径是1，高是3，
则这个几何体的体积是V=（×π×12×3）=（cm3）．
故选A．
点评：
本题考查三视图求面积，考查简洁几何体的三视图的运用，空间想象力气和基本的运算力气；是中档题．
6．（5分）利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
考点：
循环结构．.
专题：
图表型．
分析：
题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后推断i与0的关系满足条件连续执行，不满足条件算法结束．
解答：
解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，
打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，推断2＞0；
打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，推断1＞0；
打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，推断0=0；
不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．
故选B．
点评：
本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，不满足条件算法结束，属于基础题．
7．（5分）设向量，满足，，则“”是“∥”成立的（ ）
A．
充要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分不必要条件
D．
不充分也不必要条件
考点：
充要条件．.
专题：
计算题．
分析：
依据已知条件，利用两向量平行的性质，进行推断两命题能否互推．
解答：
解：∵向量，满足，，“，
∴=2，
∴∥，
∵∥，
∴=λ，
可以取，，也有∥，，
∴“”是“∥”成立的充分不必要条件．
故选C．
点评：
此题主要考查充要条件的定义和向量平行的性质及其应用，是一道比较不错的题．
8．（5分）（2021•哈尔滨模拟）已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数的图象与图象变化．.
专题：
数形结合．
分析：
由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排解A、C，由x＞0时，函数值恒正，排解D．
解答：
解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排解选项A、C，
又当x＞0时，函数值大于0恒成立，故排解D，
故选 B．
点评：
本题考查函数图象的特征，通过排解错误的选项，从而得到正确的选项．排解法是解选择题常用的一种方法．
9．（5分）已知a＞1，b＞1，且lna，，lnb成等比数列，则ab（ ）
A．
有最大值e
B．
有最小值e
C．
有最大值
D．
有最小值
考点：
等比数列的性质．.
专题：
计算题．
分析：
首先利用等比数列的性质得出lna•lnb=，再利用a+b≤，即可得出结果．
解答：
解：∵lna，，lnb成等比数列
∴=lna•lnb 即lna•lnb=
∵a＞1，b＞1
∴lna＞0，lnb＞0
∴=lna•lnb≤（）2=
∴ab有最小值e
故选B．
点评：
本题考查了等比数列的性质，利用a+b≤是解题的关键，属于基础题．
10．（5分）设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）﹣2x在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，则函数g（x）在[﹣12，12]上的值域为（ ）
A．
[﹣2，6]
B．
[﹣20，34]
C．
[﹣22，32]
D．
[﹣24，28]
考点：
函数的周期性；函数的值域．.
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由已知不妨设g（x0）=﹣2，g（x1）=6，x0，x1∈[2，3]，利用f（x）的周期为1可求g（x0+n）．同理可求g（x1+n）．再利用函数的单调性可求g（x）在[﹣12，12]上的最小值、最大值，从而得g（x）在[﹣12，12]上的值域．
解答：
解：由g（x）在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，可设g（x0）=﹣2，g（x1）=6，x0，x1∈[2，3]，g（x0）=f（x0）﹣2x0=﹣2，
∵y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，∴g（x0+n）=f（x0+n）﹣2（x0+n）=f（x0）﹣2x0﹣2n=﹣2﹣2n．
同理g（x1+n）=6﹣2n，
12﹣3=9，于是g（x）在[﹣12，12]上的最小值是﹣2﹣2×9=﹣20；﹣12﹣2=﹣14，于是g（x）在[﹣12，12]上的最大值是6﹣2（﹣14）=34．
∴函数g（x）在[﹣12，12]上的值域为[﹣20，34]．
故选B．
点评：
本题考查了函数的值域、函数的周期性及其应用，考查了利用所学学问解决问题的力气．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）已知，则tanα= ．
考点：
两角和与差的正切函数．.
专题：
三角函数的求值．
分析：
由tanα=tan[（α+）﹣]，利用两角差的正切公式求出结果．
解答：
解：∵tanα=tan[（α+）﹣]，，由两角差的正切公式可得
tan[（α+）﹣]==﹣，
故答案为﹣．
点评：
本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．
12．（5分）（2022•蓝山县模拟）有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ．
考点：
几何概型；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．.
专题：
计算题．
分析：
本题利用几何概型求解．先依据到点O的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最终利用体积比即可得点P到点O的距离大于1的概率．
解答：
解：∵到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图，
则点P到点O的距离大于1的概率为：
P=
=
=
=，
故答案为：．
点评：
本小题主要考查几何概型、球的体积等基础学问，考查运算求解力气，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
13．（5分）不等式的解集为 （ ．
考点：
其他不等式的解法．.
专题：
计算题．
分析：
由两数相除商为负数，得到两数异号，将原不等式转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，即可确定出原不等式的解集．
解答：
解：≤0，
可化为或，
解得：﹣＜x≤1，
则原不等式的解集为（﹣，1]．
故答案为：（﹣，1]
点评：
此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，其转化的依据为两数相除的取符合法则．
14．（5分）（2021•吉安二模）若{bn}是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若{an}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论： m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0 ．
考点：
类比推理．.
专题：
探究型．
分析：
认真分析题干中给出的不等式的结论：的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等差数列类比到等比数列的：m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0成立．
解答：
解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，
等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的 ，
等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．
故m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0
故答案为m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0．
点评：
本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相像性或者全都性．②用等差数列的性质去推想物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=2x为R上的“1高调函数”；
②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；
③假如定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
其中正确的命题是 ①②③ ．（写出全部正确命题的序号）
考点：
命题的真假推断与应用．.
专题：
新定义．
分析：
①函数f（x）=2x为增函数，存在正实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），满足高调函数定义；
②由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，只有[﹣1，1]上至少需要加2．
解答：
解：对于①，函数f（x+l）=2x+l，f（x）=2x，
要使f（x+l）≥f（x），需要2x+l≥2x恒成立，只需l≥0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函数f（x）=2x是R上的1（l≥0）高调函数，故①正确；
对于②，∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确；
对于③，∵假如定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，
只有[﹣1，1]上至少需要加2，实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确，
综上，正确的命题序号是①②③．
故答案为：①②③
点评：
此题属于新定义的题型，涉及的学问有：函数单调性的推断与证明，以及基本初等函数的性质，其中认真审题，弄清爽定义的本质，找到推断的标准是解本题的关键．属于中档题
三、解答题：本大题共6小题，其中16，17，18，19每小题12分，20题13分，21题14分，、证明过程或演算步骤.
16．（12分）（2009•东城区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．
考点：
余弦定理的应用；余弦定理．.
专题：
计算题．
分析：
（1）由A+B+C=π，可求的cosC，进而求出C．
（2）通过余弦定理可得出a，b，c的关系，通过a+b=5进而可求出ab的值，进而依据面积公式求出三角形的面积．
解答：
解：（1）由
∴4cos2C﹣4cosC+1=0
解得
∴C=60°
（2）由余弦定理得C2=a2+b2﹣2abcosC
即7=a2+b2﹣ab①
又a+b=5
∴a2+b2+2ab=25②
由①②得ab=6
∴S△ABC=．
点评：
本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的运用．对于这两个在解三角形中常用的公式，应重点记忆．
17．（12分）为加强中同学实践、创新力气和团队精神的培育，促进训练教学改革，训练部门主办了全国中同学航模竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参与决赛的队伍依据抽签方式打算出场挨次．通过预赛，选拔出甲、乙、丙和丁四支队伍参与决赛．
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（ II）求决赛中甲、乙两支队伍出场挨次相邻的概率．
考点：
古典概型及其概率计算公式．.
专题：
计算题．
分析：
列举总的基本大事数，设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为大事A，“甲、乙两支队伍出场挨次相邻”为大事B，分析可得A、B包含的基本大事数目，由等可能大事的概率公式，计算可得答案．
解答：
解：利用树状图列举如右图，这是以甲开头的，
还有分别以乙、丙、丁开头的也都有6种状况．
故总共有24个基本大事，
符合（Ⅰ）要求的有4个基本大事，符合（ II）要求的有12个基本大事，
所以所求的概率分别为．
另解：（Ⅰ）由排列组合的公式可得“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”的概率P=
（ II）同理可得，“甲、乙两支队伍出场挨次相邻”的概率为
点评：
本题考查等可能大事概率的计算，关键是依据题意，正确列举基本大事空间，得到其包含基本大事的数目．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，，PA=2，
求：（Ⅰ）三角形PCD的面积；
（II）三棱锥P﹣ABE的体积．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．.
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（Ⅰ）只要证明CD⊥平面PAD即可．
（Ⅱ）取PB的中点，得EH为△PBC的中位线，可得EH与BC的关系，而可证明BC⊥平面PAB，因此EH为平面PAB上的高，进而可计算出体积．
解答：
解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
由矩形ABCD可得CD⊥AD，
又∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
∴△PCD是一个直角三角形，PD==．
∴S△PCD==2．
（ II）如图，设PB的中点为H，又E为PC的中点，由三角形的中位线定理，得EH∥BC，EH==．
由PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC．
由矩形ABCD得BC⊥AB．
又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
所以HE为三棱锥P﹣ABE的高，因此可得VP﹣ABE=VE﹣PAB==．
点评：
本题考查面积与体积的计算，理解线面垂直的判定与性质是解决问题的关键．同时留意三角形的中位线定理的应用．