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参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2021•肇庆一模）设i为虚数单位，复数z1=a﹣3i，z2=2+bi，其中a、b∈R．若z1=z2，则ab=（ ）
A．
﹣1
B．
5
C．
﹣6
D．
6
考点：
复数相等的充要条件．
专题：
计算题．
分析：
利用复数相等的条件即可得出所求参数的方程，解之即可．
解答：
解：∵复数z1=a﹣3i，z2=2+bi，其中a、b∈R，z1=z2，
∴，∴ab=2×（﹣3）=﹣6．
故选C．
点评：
娴熟把握复数相等的定义是解题的关键．
2．（5分）（2021•肇庆一模）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于﹣2且小于5的整数}，则∁UM=（ ）
A．
∅
B．
{6}
C．
{﹣2，6}
D．
{﹣2，5，6}
考点：
补集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
利用列举法化简集合M，然后直接利用补集运算求解．
解答：
解：由M={大于﹣2且小于5的整数}={﹣1，0，1，2，3，4}，
而U={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，
所以∁UM={﹣2，5，6}．
故选D．
点评：
本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型．
3．（5分）（2021•肇庆一模）命题“∃x∈R，2x＜1”的否定是（ ）
A．
∀x∈R，2x≥1
B．
∀x∈R，2x＜1
C．
∃x∈R，2x≥1
D．
∃x∈R，2x＞1
考点：
特称命题；命题的否定．
专题：
规律型．
分析：
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可推断选项．
解答：
解：由于特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x∈R，2x＜1”的否定：∀x∈R，2x≥1；
故选A．
点评：
本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，基本学问的考查．
4．（5分）（2021•肇庆一模）甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下（单位：t/hm2），依据这组数据下列说法正确的是（ ）
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
10
乙
A．
甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数
B．
甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数
C．
甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差
D．
甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差
考点：
极差、方差与标准差．
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
由平均数计算公式，算出甲=乙=10，从而排解A、B两项；再由方差计算公式算出即可得到
甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差，从而得到D项是正确答案．
解答：
解：依据题意，得
甲品种的样本平均数为甲=（+++10+）=10；
乙品种的样本平均数为乙=（++++）=10
∴甲品种的样本平均数与乙品种的样本平均数相等
甲品种的样本方差为s2甲=[（﹣10）2+（﹣10）2+（﹣10）2+（10﹣10）2+（﹣10）2]=；
乙品种的样本方差为s2乙=[（﹣10）2+（﹣10）2+（﹣10）2+（﹣10）2+（﹣10）2]=
∵＜，∴甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差
故选：D
点评：
本题给出两组数据，要求我们比较它们的平均数与方差的大小，着重考查了平均数、方差、标准差等样本特殊数的计算公式的学问，属于基础题．做统计题目时，请同学们留意所得结果应当保持同样的精确度，如本题的方差写成s2甲==，就不太规范了．
5．（5分）（2021•肇庆一模）已知等差数列{an}，满足a3+a9=8，则此数列的前11项的和S11=（ ）
A．
44
B．
33
C．
22
D．
11
考点：
等差数列的前n项和；等差关系的确定．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=8，代入求和公式可得答案．
解答：
解：由等差数列的性质可得a1+a11=a3+a9=8，
故S11===44
故选A
点评：
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
6．（5分）（2021•肇庆一模）平面上有三个点A（2，2）、M（1，3）、N（7，k），若向量与垂直，则k=（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
考点：
数量积推断两个平面对量的垂直关系．
专题：
平面对量及应用．
分析：
利用向量⊥⇔=0即可得出．
解答：
解：∵=（﹣1，1），=（5，K﹣2），．
∴=﹣5+K﹣2=0，解得k=7．
故选B．
点评：
娴熟把握向量⊥⇔=0是解题的关键．
7．（5分）（2021•肇庆一模）阅读如图的程序框，并推断运行结果为（ ）
A．
55
B．
﹣55
C．
5
D．
﹣5
考点：
程序框图．
专题：
图表型．
分析：
框图首先给变量S和变量i赋值，然后对i是否大于10进行推断，不大于10，连续推断i是否为偶数，是执行路径S=S﹣i，否执行路径S=S+i，再执行i=i+1，依次循环执行，当i大于10时跳出循环，输出S的值．
解答：
解：框图首先给变量S和变量i赋值，S=0，i=1．
推断i＞10不成立，推断1是偶数不成立，执行S=0+1=1，i=1+1=2；
推断i＞10不成立，推断2是偶数成立，执行S=1﹣2=﹣1，i=2+1=3；
推断i＞10不成立，推断3是偶数不成立，执行S=﹣1+3=2，i=3+1=4；
推断i＞10不成立，推断4是偶数成立，执行S=2﹣4=﹣2，i=4+1=5；
推断i＞10不成立，推断5是偶数不成立，执行S=﹣2+5=3，i=5+1=6；
推断i＞10不成立，推断6是偶数成立，执行S=3﹣6=﹣3，i=6+1=7；
推断i＞10不成立，推断7是偶数不成立，执行S=﹣3+7=4，i=7+1=8；
推断i＞10不成立，推断8是偶数成立，执行S=4﹣8=﹣4，i=8+1=9；
推断i＞10不成立，推断9是偶数不成立，执行S=﹣4+9=5，i=9+1=10；
推断i＞10不成立，推断10是偶数成立，执行S=5﹣10=﹣5，i=10+1=11；
推断i＞10成立，跳出循环，输出S的值为﹣5．
故选D．
点评：
本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．
8．（5分）（2021•肇庆一模）设变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值为（ ）
A．
1
B．
9
C．
11
D．
13
考点：
简洁线性规划．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
先画出可行域，再把z=3x+2y变形为直线的斜截式，则直线在y轴上截距最大时z取得最大．
解答：
解：画出可行域，如图所示
由解得A（3，1）
则直线z=3x+2y过点A时z最大，所以zmax=3×3+2×1=11．
故选C．
点评：
本题考查利用线性规划求目标函数最值，考查数形结合思想．属于基础题．
9．（5分）（2021•肇庆一模）在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则△ABC的面积是（ ）
A．
3
B．
C．
3
D．
6
考点：
余弦定理．
专题：
计算题．
分析：
利用余弦定理求出cosAd的值，然后求出sinA，求出三角形的面积．
解答：
解：由余弦定理可知coaA===．
所以sinA=，
∴==3．
故选C．
点评：
本题考查余弦定理与三角形的面积公式的应用，考查计算力气．
10．（5分）（2021•肇庆一模）设集合M={A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在M上定义运算“⊗”为：Ai⊗Aj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3，4，5．则满足关系式（a⊗a）⊗A2=A0的a（a∈M）的个数为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
集合中元素个数的最值．
专题：
计算题；新定义．
分析：
本题为信息题，同学要读懂题意，运用所给信息式解决问题，对于本题来说，可用逐个验证法．
解答：
解：当a=A0时，（a⊕a）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0，当a=A1时，（a⊕a）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0
当a=A2时，（a⊕a）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0，当a=A3时，（a⊕a）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0
当a=A4时，（a⊕a）⊕A2=（A4⊕A4）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0
当a=A5时，（a⊕a）⊕A2=（A5⊕A5）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0
满足题意的有3个．
故选B．
点评：
本题考查同学的信息接收力气及应用力气，留意被4除的余数的理解，考查同学的思维力气．
二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分，11-13为必做题，14-15为选做题，考生只能做一道)
11．（5分）（2021•肇庆一模）函数的定义域为 （0，1] ．
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
计算题．
分析：
直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可．
解答：
解：要使有意义，则，解得0＜x≤1．
所以原函数的定义域为（0，1]．
故答案为（0，1]．
点评：
本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．
12．（5分）（2021•肇庆一模）若圆心在直线y=x上、半径为的圆M与直线x+y=4相切，则圆M的方程是 （x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2． ．
考点：
圆的标准方程．
专题：
直线与圆．
分析：
可设圆心为（a，a），可得圆心到直线x+y=4的距离d==r=，解之可得圆心，可得圆的标准方程．
解答：
解：由题意可设所求圆的圆心为（a，a），
可得圆心到直线x+y=4的距离d==r=，
化简可得|a﹣2|=1，可解得a=1，或a=3，
故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣3）2+（y﹣3）2=2．
点评：
本题考查圆的标准方程，由已知设出圆心的坐标，并求得圆心是解决问题的关键，属中档题．
13．（5分）（2021•肇庆一模）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于 ．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
通过几何体与三视图中的正视图的数据，求出三棱柱是以底面边长与高，然后求解面积即可．
解答：
解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为4，高为2的正三棱柱，所以底面积为2××42=8，侧面积为3×4×2=24，所以其表面积为24+8．
故答案为：．
点评：
本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的力气、空间想象力气等基本力气．
14．（5分）（2021•肇庆一模）在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是
1 ．
考点：
点到直线的距离公式；简洁曲线的极坐标方程．
专题：
计算题；压轴题；选作题．
分析：
圆p=2、直线p（cosθ）=6化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再求圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值．
解答：
解：圆p=2、直线p（cosθ）=6化为直角坐标方程，
分别为x2+y2=4，x+y﹣6=0
圆心到直线的距离为：
所以圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是3﹣2=1
故答案为：1
点评：
本题考查点到直线的距离公式，简洁曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查计算力气，是基础题．
15．（2021•肇庆一模）（几何证明选讲选做题）
如图，D是⊙O的直径AB延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，AB=4，BD=2，则PA= ．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
计算题．
分析：
连结PO，求出∠POC的大小，然后在△POA中，求出PA即可．
解答：
解：连结PO，由于PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，所以∠POC=60°，
并且AO=2，∠POA=120°，
在△POA中，PA=2×AO•sin60°=2×=．
故答案为：．
点评：
本题考查圆的切线与割线的关系，直角三角形的解法，考查计算力气．
三、解答题（共6小题，满分80分）本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（12分）（2022•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
考点：
三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题：
计算题．
分析：
（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与挂念角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；
（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．
解答：
解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期T==π．
（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，
又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，
∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．
点评：
本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与挂念角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．
17．（13分）（2021•肇庆一模）某市电视台为了宣扬举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．
组号
分组
回答正确
的人数
回答正确的人数
占本组的概率
第1组
[15，25）
5
第2组
[25，35）
a
第3组
[35，45）
27
x
第4组
[45，55）
B
第5组
[55，65）
3
y
（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台打算在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
考点：
列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估量总体分布．
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；
（Ⅱ）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名同学中任取2名的全部可能的状况，以及其中第2组至少有1人的状况种数，由古典概型可得概率．
解答：
解：（Ⅰ）第1组人数5÷=10，所以n=10÷=100，…（1分）
第2组人数100×=20，所以a=20×=18，…（2分）
第3组人数100×=30，所以x=27÷30=，…（3分）
第4组人数100×=25，所以b=25×=9…（4分）
第5组人数100×=15，所以y=3÷15=．…（5分）
（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，
所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，
则从6名同学中任取2名的全部可能的状况有15种，
它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），
（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），
（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10分）
其中第2组至少有1人的状况有9种，
它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），
（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（12分）
故所求概率为．…（13分）
点评：
本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．
18．（13分）（2021•肇庆一模）如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，，C是弧AB的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）证明：CF⊥BP；
（3）求四棱锥C﹣AOFP的体积．
考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
专题：
计算题；证明题；空间位置关系与距离．
分析：
（1）由PA⊥平面ABC，得BC⊥PA，依据圆的性质得BC⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC．