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高二数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知点P的极坐标为，则点P的直角坐标为（ ）
A．
（1，）
B．
（1，﹣）
C．
（，1）
D．
（，﹣1）
考点：
点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：
计算题．
分析：
利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．
解答：
解：x=ρcosθ=2×cos=1，
y=ρsinθ=2×sin=
∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）．
故选A．
点评：
本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题．
2．（5分）一物体作直线运动，其运动方程为s（t）=﹣t2+2t，则t=1时其速度为（ ）
A．
4
B．
﹣1
C．
1
D．
0
考点：
导数的几何意义．.
专题：
导数的概念及应用．
分析：
首先求导，然后将t=1代入即可．
解答：
解：∵s（t）=﹣t2+2t
∴s'（t）=﹣2t+2
∴s'（1）=0
故t=1时其速度为0．
故选：D．
点评：
本题考查了导数的几何意义，属于基础性的题目．
3．（5分）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
1或﹣1
D．
﹣1或﹣2
考点：
复数的基本概念．.
专题：
计算题．
分析：
（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，实部为0，虚部不为0，求解不等式组即可确定x的值．
解答：
解：（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则
解得：x=1
故选A
点评：
本题考查复数的基本概念，考查计算力气，是基础题．
4．（5分）曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是（ ）
A．
（1，4）
B．
（1，﹣3）
C．
（，0）
D．
（，0）
考点：
点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成一般方程．.
专题：
计算题．
分析：
欲求曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标，只须在方程中，令y=0，得t=，再将其代入x=1+t2中，得x即可．
解答：
解：在方程中，令y=0，得t=，
将其代入x=1+t2中，得x=1+=，
则曲线（t为参数）与x轴交点的直角坐标是（，0）．
故选C．
点评：
本题考查参数方程的应用，考查曲线的交点问题，属于基础题．
5．（5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．
假设三内角都不大于60度
B．
假设三内角都大于60度
C．
假设三内角至多有一个大于60度
D．
假设三内角至多有两个大于60度
考点：
反证法与放缩法．.
专题：
常规题型．
分析：
一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；
“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；
“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“全部的”的否定：“某些”．
解答：
解：依据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．
故选B
点评：
本题考查反证法的概念，规律用语，否命题与命题的否定的概念，规律词语的否定．
6．（5分）若随机变量X～N（1，σ2），且P（0＜X≤3）=，则P（﹣1＜X≤2）=（ ）
A．
B．
C．
D．
以上答案均不对
考点：
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．.
分析：
依据X～N（1，σ2），可得图象关于x=1对称，利用P（0＜X≤3）=，即可求得结论．
解答：
解：依据正态分布N（1，σ2）的密度函数的图象的对称性可得，
∵X～N（1，σ2），∴图象关于x=1对称
∴P（﹣1＜X≤2）=P（0＜X≤3）=．
故选A．
点评：
本题主要考查正态分布的图象，利用正态曲线的对称性是解题的关键．
7．（5分）复数与在复平面上所对应的向量分别是，，O为原点，则这两个向量的夹角∠AOB=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
复数的代数表示法及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角．.
专题：
计算题．
分析：
由条件求得||、||、 的值，再由两个向量的夹角公式求得这两个向量的夹角∠AOB的值．
解答：
解：∵对应的复数为 ===﹣i，对应的复数为 ，
∴||=1，||=2，=0+（﹣1）（﹣）=，设这两个向量的夹角∠AOB=θ，
则cosθ===，∴θ=，
故选A．
点评：
本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．
8．（5分）已知数列{an}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣an），通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
归纳推理．.
专题：
规律型．
分析：
先依据数列的f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣an），求得f（1），f（2），f（3），f（4），可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出f（n）的值．
解答：
解：a1=，f（1）=1﹣a1=；
a2=，f（2）=×=；
a3=，f（3）==．
…
由于f（1）=1﹣a1==；
f（2）=×==；
f（3）===．
…
猜想f（n）的值为：f（n）=．
故选D．
点评：
本题主要考查了归纳推理，考查了数列的通项公式．数列的通项公式是高考中常考的题型，涉及数列的求和问题，数列与不等式的综合等问题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.
9．（5分）计算= π ．
考点：
定积分．.
专题：
计算题．
分析：
结合导数公式，找出cosx+1的原函数，用微积分基本定理代入进行求解．
解答：
解：
=（sinx+x）
=sin0+0﹣[sin（﹣π）﹣π]=π，
故答案为：π．
点评：
本题考查了导数公式及微积分基本定理，属于基本学问、基本运算的考查．
10．（5分）i是虚数单位，则= 3﹣i ．
考点：
复数代数形式的乘除运算．.
专题：
计算题．
分析：
利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的式子，可得结果．
解答：
解：复数 ==3﹣i，
故答案为 3﹣i．
点评：
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
11．（5分）若直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，则直线l的参数方程为 （t为参数） ．
考点：
直线的参数方程．.
专题：
直线与圆．
分析：
依据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，直接写出直线的参数方程．
解答：
解：由于过点（a，b） 倾斜角为α 的直线的参数方程为（t是参数），
∵直线l经过点M（1，5），且倾斜角为，
故直线的参数方程是即 （t为参数）．
故答案为：（t为参数）．
点评：
本题主要考查直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，属于基础题．
12．（5分）已知（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5= ﹣2 ．
考点：
二项式定理的应用；二项式系数的性质．.
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
在所给的式子中，令x=0可得 a0=1．再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，由此求得a1+a2+a3+a4+a5的值．
解答：
解：在（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 中，令x=0可得 a0=1．
再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=﹣1，故a1+a2+a3+a4+a5=﹣2，
故答案为﹣2．
点评：
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是依据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．
13．（5分）圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是 （其它正确答案同样给分） ．
考点：
简洁曲线的极坐标方程．.
专题：
计算题．
分析：
由题意圆心在，半径为1的圆，利用直角坐标方程，先求得其直角坐标方程，间接求出所求圆的方程．
解答：
解：由题意可知，圆心在的直角坐标为（，），半径为1．
得其直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2=x+y
所以所求圆的极坐标方程是：ρ2=⇒．
故答案为：．
点评：
本题是基础题，考查极坐标方程的求法，考查数形结合，计算力气．
14．（5分）（2021•陕西）观看下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 ．
考点：
归纳推理．.
专题：
规律型．
分析：
依据题意，观看等式的左边，分析可得规律：第n个等式的左边是从n开头的（2n﹣1）个数的和，进而可得答案．
解答：
解：依据题意，观看可得，
第一个等式的左边、右边都是1，
其次个等式的左边是从2开头的3个数的和，
第三个等式的左边是从3开头的5个数的和，
…
其规律为：第n个等式的左边是从n开头的（2n﹣1）个数的和，
第五个等式的左边应当是从5开头的9个数的和，即5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可得，其结果为81；
故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．
点评：
本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发觉其变化的规律，留意验证即可．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤.
15．（12分）某地有两所中学，为了检验两校学校毕业生的语文水平，从甲、乙两校九班级同学中各随机抽取20%的同学（即占各自九班级同学总数的20%）进行语文测验．甲校32人，有21人及格；乙校24人，有15人及格．
（1）试依据以上数据完成下列2×2列联表；
及格
不及格
合计
甲
乙
合计
（2）推断两所中学学校毕业生的语文水平有无显著差别？
附：
P（K2≥k0）
k0
．
考点：
独立性检验．.
专题：
应用题．
分析：
（1）由题意知按同学考试成果及格与不及格进行统计，甲班及格人数为21人，乙班及格人数为15，从而做出甲班不及格的人数和乙班不及格的人数，列出表格，填入数据．
（2）依据所给的数据，代入求观测值的公式，做出观测值，把所得的数值同观测值表中的数据进行比较，得到两所中学学校毕业生的语文水平无显著差别．
解答：
解：（1）
及格
不及格
合计
甲
21
11
32
乙
15
9
24
合计
36
20
56
（6分）
（2）．（10分）
由于k≈＜，所以两所中学学校毕业生的语文水平无显著差别．（12分）
点评：
本题考查独立性检验的作用，考查列联表的做法，是一个基础题，这种题目运算量比较小，但是需要留意计算观测值时，数据运算比较麻烦，需要认真完成．
16．（12分）某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估量广告费用为10时销售收入y的值．
附：线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值．
考点：
回归分析的初步应用．.
专题：
应用题；概率与统计．
分析：
（1）依据所给的数据计算出x，y的平均数和回归直线的斜率，即可写出回归直线方程，
（2）由（1）中的回归直线方程，把所给的自变量x代入方程，得到y的一个估量值，得到结果．
解答：
解：（1），（1分）
，（2分）
，（3分）
，（4分）
，（6分）
，（8分）
所以回归直线方程为．（9分）
（2）x=10时，预报y的值为y=×10+=．（12分）
点评：
本题考查回归分析的初步应用，写方程要用的斜率和x，y的平均数都要经过计算算出，这样的题有确定的运算量，是一个基础题．
17．（14分）六一儿童节期间，某商场对儿童节礼品实行促销措施．某儿童节礼品的进货价是10元/件，据市场调查，当销售量为x（万件）时，销售价格（元/件）．若x∈N*，问销售量x为何值时，商场获得的利润最大？并求出利润的最大值．
考点：
利用导数求闭区间上函数的最值．.
专题：
导数的综合应用．
分析：
先确定利润函数，在求导确定函数的单调性，从而可求最值．
解答：
解：设商场的利润为y万元，由题意得（x∈N*） （5分）（7分）
令y'=0，得，（舍去）．（8分）
y'，y随x变化的状况如下表：
x
（0，）
（，+∞）
y'
+
0
﹣
y
递增
极大值
递减
（11分）
由于，当x=3时，y=9；当x=4时，y=9； （12分）
所以当x=3或x=4时，ymax=9．（13分）
答：销售量x为3万件或4万件时，商场获得的利润最大，最大值为9万元．（14分）
点评：
本题考查函数解析式的确定，考查利用数学学问解决实际问题，考查导数学问的运用，属于中档题．
18．（14分）某学校高一班级组建了A、B、C、D四个不同的“争辩性学习”小组，要求高一班级同学必需参与，且只能参与一个小组的活动．假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的全部选法种数；
（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参与同一组活动的概率；
（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参与A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX．
考点：
离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．.
专题：
概率与统计．
分析：
（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，利用乘法原理可得结论；
（2）求出对立大事的概率，可得结论；
（3）确定X的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望EX．
解答：
解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有43=64种．（4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为
所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为．（8分）
（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3
所以，，
，，（12分）
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
故数学期望．（14分）
点评：
本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查同学的计算力气，属于中档题．
19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n﹣an（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式，并加以证明．
考点：
归纳推理．.
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（1）依据Sn=2n﹣an，利用递推公式，分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，
（2）由（1）猜想（n∈N*）．利用an=Sn﹣Sn﹣1，整理出an的递推式，进而构造等比数列{an﹣2}中求出an．
解答：
解：（1）由于Sn=2n﹣an，Sn=a1+a2+…+an，n∈N*（1分）
所以，当n=1时，有a1=2﹣a1，解得； （2分）
当n=2时，有a1+a2=2×2﹣a2，解得； （3分）