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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）（2021•浙江二模）在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A．
第一象限
B．
其次象限
C．
第三象限
D．
第四象限
考点：
复数的代数表示法及其几何意义．
专题：
计算题．
分析：
利用复数的运算法则把复数化简为z=，进而得到答案．
解答：
解：设z=即z=，
所以复数所对应的点位于其次象限．
故选B．
点评：
解决此类问题的关键是合理正确的运用复数的运算法则以及有关复数的运算性质，并且机敏运用复数的运算技巧．
2．（5分）（2021•浙江二模）设集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|2x＜2}，则M∩∁RN等于（ ）
A．
[﹣1，1]
B．
（﹣1，0）
C．
[1，3）
D．
（0，1）
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M，N，然后直接利用补集和交集的运算求解．
解答：
解：由M={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
又N={x|2x＜2}={x|x＜1}，全集U=R，所以∁RN={x|x≥1}．
所以M∩（∁RN）={x|﹣1＜x＜3}∩{x|x≥1}=[1，3）．
故选C．
点评：
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础的运算题．
3．（5分）（2021•浙江二模）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A．
1
B．
2
C．
8
D．
16
考点：
循环结构．
专题：
图表型．
分析：
依据题意，依据程序框图的挨次进行执行，当a=4时跳出循环，输出结果．
解答：
解：第一次：b=2，a=2；
其次次：b=4，a=3；
第三次：b=16，a=4；
此时不满足a≤3．
所以输出b=16．
故选D．
点评：
本题考查程序框图，依据程序框图的挨次进行执行求解，属于基础题．
4．（5分）（2021•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（ ）
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的推断．
专题：
计算题．
分析：
当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．
解答：
解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；
当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，
可取，k∈Z即可，
故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”
的充分不必要条件．
故选A
点评：
本题考查充要条件的推断，涉及三角函数的性质，属基础题．
5．（5分）（2021•浙江二模）设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．
上述命题中，全部真命题的序号是（ ）
A．
①②
B．
③④
C．
①③
D．
②④
考点：
命题的真假推断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
①利用线面平行的性质推断面面关系．②利用线面垂直的性质推断面面关系．③利用线面平行的性质推断线线关系．④利用线面垂直的性质推断线线关系．
解答：
解：①若m∥α，m∥β，依据平行于同一条直线的两个平面不愿定平行，也有可能相交，所以①错误．
②若m⊥α，m⊥β，则依据垂直于同一条直线的两个平面是平行的知α∥β正确，所以②为真命题．
③若m∥α，n∥α，则依据平行于同一个平面的两条直线不愿定平行，也有可能是相交或异面，所以③错误．
④若m⊥α，n⊥α，则依据垂直于同一个平面的两条直线确定平行，可知④为真命题．
所以正确的命题是②④．
故选D．
点评：
本题考查的学问点是空间直线与直线之间的位置关系，空间直线与平面的位置关系，要娴熟把握空间线面关系的判定方法．
6．（5分）（2021•浙江二模）从集合{1，2，3，4}中随机取一个元素a，从集合{1，2，3}中随机取一个元素b，则a＞b的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
古典概型及其概率计算公式．
专题：
概率与统计．
分析：
写出全部的取法得到的（a，b）的个数，找出满足a≥b的选法得到的（a，b）的个数，由此求得a≥b的概率．
解答：
解：从集合{1，2，3，4}中随机选取一个a，有4种方法，再从{1，2，3}中随机选一个数b，有3种方法，依据分步计数原理，全部的取法共有4×3=12种．
即全部的（a，b）共有12个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、
（4，1）、（4，2）、（4，3）．
其中，满足a＞b的选法有：（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）共6个，故满足a＞b的选法有6种．
故a＞b的概率为
故答案为 B．
点评：
本题主要考查两个基本原理的应用，求随机大事的概率，属于基础题．
7．（5分）（2021•浙江二模）对数函数y=logax（a＞0且a≠1）与二次函数y=（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
对数函数的图像与性质；二次函数的图象．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
依据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．
解答：
解：由对数函数y=logax（a＞0且a≠1）与二次函数y=（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y=logax为减函数，
而二次函数y=（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x=，故排解C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y=logax为增函数，
而二次函数y=（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x=，故B错误，而A符合题意．
故答案为 A．
点评：
本题考查了同一坐标系中对数函数图象与二次函数图象的关系，依据图象确定出a﹣1的正负状况是求解的关键，属于基础题．
8．（5分）（2021•浙江二模）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（ ）
A．
P在△ABC内部
B．
P在△ABC外部
C．
P在AB边所在直线上
D．
P是AC边的一个三等分点
考点：
向量在几何中的应用．
专题：
计算题．
分析：
利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．
解答：
解：∵，
∴，∴，
∴P是AC边的一个三等分点．
故选项为D
点评：
本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．
9．（5分）（2021•浙江二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
k＜0或
C．
D．
k≤0或
考点：
直线与圆的位置关系．
专题：
计算题．
分析：
将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，依据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，得到以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．
解答：
解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+y2=1，
∴圆心C（4，0），半径r=1，
∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′（x﹣4）2+y2=4与y=kx﹣2有公共点，
∵圆心（4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=≤2，
解得：0≤k≤．
故选A
点评：
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的学问有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．
10．（5分）（2021•浙江二模）已知函数，若关于x的方程f（x2+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（ ）
A．
（2，8]
B．
（2，9]
C．
（8，9]
D．
（8，9）
考点：
函数的零点与方程根的关系．
专题：
压轴题；函数的性质及应用．
分析：
令t=x2+2x，则t≥﹣1，f（t）=．由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得
a的取值范围．
解答：
解：令t=x2+2x，则t≥﹣1，函数f（t）=．
由题意可得，函数f（t）的图象与直线y=a 有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：
由于当t=﹣1时，f（t）=8，此时，t=﹣1对应的x值只有一个x=﹣1，不满足条件，故a的取值范围是 （8，9]，
故选C．
点评：
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，.
11．（4分）（2021•浙江二模）统计某校1000名同学的数学会考成果，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是 800 ．
考点：
用样本的频率分布估量总体分布；频率分布直方图．
专题：
图表型；概率与统计．
分析：
由图知，各段的频率可知，又由总人数为1000，及格人数即为总人数乘上60分以上的频率．
解答：
解：由图知40﹣50，50﹣，，，又同学总数为1000名，所以不及格的有200人，及格有800人．
故及格的人数为800人．
点评：
本题考查用样本频率分布估量总体分布，观看图形是关键，要留意纵坐标表示的是频率，还是．
12．（4分）（2009•浙江）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 cm3 ．
考点：
由三视图求面积、体积．
分析：
由题可知，图形为三棱柱，求体积即可．
解答：
解：底面积为，高为1，所以体积为V=．
点评：
本题考查同学的空间想象力气，是基础题．
13．（4分）（2021•浙江二模）已知O为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且，则的坐标是 （4，7） ．
考点：
平面对量共线（平行）的坐标表示．
专题：
计算题；平面对量及应用．
分析：
设出点B（x，y）的坐标，跟军条件将向量用坐标表示出来，利用向量相等建立x，y的方程求出x，y的值，即得点B的坐标，再选出正确选项．
解答：
解：设B（x，y），∵A（1，1），C（2，3）且，
∴2（1，2）=（x﹣2，y﹣3），
∴，解得，则B（4，7），
即=（4，7），
故答案为：（4，7）．
点评：
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量相等的应用，解题的关键是求出各个向量的坐标，再依据向量相等建立方程组求出所引入的参数．
14．（4分）（2021•浙江二模）已知，则不等式f（x）＜9的解集是 （﹣2，2） ．
考点：
指数函数单调性的应用．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
依据解析式需要对x分类：x≥0时和x＜0时，代入对应的关系式列出不等式，再由指数函数的单调性求解，最终要把结果并在一起．
解答：
解：由题意知，
当x≥0时，f（x）=3x＜9=32得，0≤x＜2，
当x＜0时，f（x）=＜9=得，﹣2＜x＜0，
综上得，不等式f（x）＜9的解集是（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）．
点评：
本题考查了指数函数的单调性的应用，以分段函数为载体，留意需要依据解析式对自变量进行分类求解，最终要把结果并在一起．
15．（4分）（2021•浙江二模）若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为 ．
考点：
简洁线性规划的应用．
专题：
数形结合．
分析：
先依据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．
解答：
解：由约束条件作出可行域（如图），
当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，
z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．
故答案为：．
点评：
本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简洁的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
16．（4分）（2021•浙江二模）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ．
考点：
双曲线的简洁性质．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．
解答：
解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，
即4c2=m2+n2﹣mn，
设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，
∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0，
a1=3a2，e1•e2==1，
解得e2=．
故答案为：．
点评：
本题考查双曲线和椭圆的简洁性质，解题时要认真审题，留意正确理解“黄金搭档”的含义．
17．（4分）（2021•浙江二模）已知实数a＜0，b＜0，且ab=1，那么的最大值为 ﹣1 ．
考点：
基本不等式．
专题：
常规题型．
分析：
将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值．
解答：
解：由于ab=1，则
又由a＜0，b＜0，则
，
故，当且仅当﹣a=﹣b即a=b=﹣1时，取“=”
故答案为﹣1．
点评：
本题考查基本不等式的应用，牢记不等式使用的三原则为“一正，二定，三相等”．
：本大题共5小题，，证明过程或演算步骤.
18．（14分）（2021•浙江二模）已知函数f（x）=cosωx（sinωx﹣cosωx）+的周期为2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA=2c﹣a，求f（B）的值．
考点：
三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 ，由于它的周期为 2π=，求得ω 的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosB的值，即可得到B的值．
解答：
解：（Ⅰ）==，
由于它的周期为 2π=，∴ω=．
（Ⅱ）在△ABC中，由，可得 ．
整理得，故，∴B=．
点评：
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，余弦定理的应用，属于中档题．
19．（14分）（2021•浙江二模）设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且﹣a2，a3，a1成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）求数列{nSn}的前n项和Tn．
考点：
数列的求和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（I）利用等差中项可得a1﹣a2=2a3，再利用等比数列的通项公式即可得到a1及q；
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得到Sn，再利用“错位相减法”即可得到数列{nSn}的前n项和Tn．
解答：
解：（Ⅰ）设设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由题有a1﹣a2=2a3，且，
∴，即有2q2+q﹣1=0，解得q=﹣1（舍去）或，
∴；
（Ⅱ）由于是首项、公比都为的等比数列，故．
则数列{nSn}的前n项和 ，
．