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一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边于x轴的非负半轴重合，则角215°是（ ）
A．
第一象限
B．
其次象限
C．
第三象限
D．
第四象限
考点：
象限角、轴线角．
专题：
计算题．
分析：
由215°=180°+35°，结合象限角的定义可得结论．
解答：
解：由题意可得：215°=180°+35°，
故角215°是第三象限角，
故选C
点评：
本题考查象限角的概念，属基础题．
2．（5分）数列的一个通项公式可能是（ ）
A．
（﹣1）n
B．
（﹣1）n
C．
（﹣1）n﹣1
D．
（﹣1）
考点：
数列的概念及简洁表示法．3259693
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
依据已知中数列各项的符号是一个摇摆数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来把握各项的符号，再由各项确定值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．
解答：
解：由已知中数列，…
可得数列各项的确定值是一个以为首项，以公比的等比数列
又∵数列全部的奇数项为正，偶数项为负
故可用（﹣1）n﹣1来把握各项的符号，
故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1
故选D
点评：
本题考查的学问点是等比数列的通项公式，其中依据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．
3．（5分）下列选项中正确的是（ ）
A．
若a＞b，则ac2＞bc2
B．
若a＞b，c＜d，则＞
C．
若ab＞0，a＞b，则
D．
若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
考点：
不等关系与不等式．3259693
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
利用特殊值代入法，排解不符合条件的选项A、B、C，利用不等式的性质可得C正确．
解答：
解：当c=0时，A、B不成立．对于 a＞b，由于ab＞0，故有 ，即 ，故C正确．
对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，明显有a﹣c＜b﹣d，故D不正确．
故选C．
点评：
本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排解不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简洁有效的方法，属于基础题．
4．（5分）（2022•包头一模）已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
数列的应用．3259693
专题：
计算题．
分析：
先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可．
解答：
解：由于{an}为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质；
所以有a5=，
所以a2+a8=，故cos（a2+a8）=﹣
故选 A．
点评：
本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查．这一类型题，考查的都是基本功，是基础题．
5．（5分）（2008•天津）把函数y=sinx（x∈R）的图象上全部点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．
，x∈R
B．
，x∈R
C．
，x∈R
D．
，x∈R
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3259693
专题：
常规题型．
分析：
依据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．
解答：
解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），
再把所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）
故选C
点评：
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时留意都是对单个的x或y来运作的．
6．（5分）设的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
两角和与差的正切函数；角的变换、收缩变换．3259693
专题：
计算题．
分析：
由于==，代入可求
解答：
解：=
=
==
故选B
点评：
本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用，解题的关键是利用拆角技巧．
7．（5分）（2022•北京模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义．3259693
专题：
计算题；平面对量及应用．
分析：
依据三角形中线的性质，得=（+），由平面对量减法得=﹣，两式联解即可得到=﹣+，得到本题答案．
解答：
解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）
∵=﹣，
∴=（﹣﹣）=﹣+
故选：A
点评：
本题给出三角形的中线，求向量的线性表示，着重考查了向量的减法及其几何意义、向量的线性运算性质及几何意义等学问，属于基础题．
8．（5分）若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为（ ）
A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°
考点：
数量积表示两个向量的夹角．3259693
专题：
计算题．
分析：
由题意，可先由条件|，（2+）•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项
解答：
解：由题意（2+）•=0
∴2•+=0，即2||||cos＜，＞+=0
又||=||
∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π
∴则与的夹角为120°
故选C
点评：
本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值
9．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A．
10
B．
﹣10
C．
14
D．
﹣14
考点：
一元二次方程的根的分布与系数的关系．3259693
专题：
计算题．
分析：
不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，
把解代入方程求出a、b即可．
解答：
解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是
即方程ax2+bx+2=0的解为
故a=﹣12b=﹣2∴
点评：
本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．
10．（5分）如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，若点Bn的坐标为（n，0）（n≥2，n∈N*），记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2+a3+a4+…+a20=（ ）
A．
256
B．
428
C．
836
D．
1024
考点：
函数的图象．3259693
专题：
数形结合；函数的性质及应用．
分析：
由点Bn的坐标可得点Cn的坐标，进而得到Dn坐标，从而可表示出矩形的周长an，再由等差数列的求和公式可求得答案．
解答：
解：由点Bn的坐标为（n，0），得Cn（n，n+），
令x+=n+，即x2﹣（n+）x+1=0，解得x=n或x=，
所以Dn（ ，n+），
所以矩形AnBnCnDn的周长an=2（n﹣）+2（n+）=4n，
则a2+a3+…+a20=4（2+3+…+20）=4×=836．
故选C．
点评：
本题考查数列与函数的综合，考查同学综合运用所学学问分析解决问题的力气，考查同学的识图用图力气，属中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）不等式的解集是 [﹣4，5） （结果用集合或区间形式表示）．
考点：
其他不等式的解法．3259693
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
由不等式可得 ，由此解得不等式的解集．
解答：
解：由不等式可得 ，解得﹣4≤x＜5，
故不等式的解集为[﹣4，5），
故答案为[﹣4，5）．
点评：
本题主要考查分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
12．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是 ．
考点：
正弦定理．3259693
专题：
计算题；解三角形．
分析：
由余弦定理列出关系式，将b，c及cosC的值代入求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：
解：∵b=1，c=，cosC=﹣，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得：3=a2+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0，
解得：a=1，a=﹣2（舍去），
则S△ABC=absinC=×1×1×=．
故答案为：
点评：
此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣x+3y的最大值是 50 ．
考点：
简洁线性规划．3259693
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
由题意，作出可行域，由图形推断出目标函数z=﹣x+3y的最大值的位置即可求出其最值．
解答：
解：由题意，可行域如图，
由得A（10，20）．
目标函数z=﹣x+3y的最大值在点A（10，20）出取到，
故目标函数z=﹣x+3y的最大值是50．
故答案为：50．
点评：
本题考查简洁线性规划求最值，其步骤是作出可行域，推断最优解，求最值，属于基本题．
14．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是 4 ．
考点：
基本不等式在最值问题中的应用．3259693
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先依据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，依据ab的范围，求得答案．
解答：
解：∵是3a与3b的等比中项
∴3a•3b=3a+b=3
∴a+b=1
∴ab≤=（当a=b时等号成立）
∴+==≥4．
故答案为：4
点评：
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时要留意等号成立的条件．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（12分）已知向量=（sinθ，cosθ），=（1，1）．
（1）若∥，求tanθ的值；
（2）若||=||，且0＜θ＜π，求角θ的大小．
考点：
平面对量的综合题．3259693
专题：
平面对量及应用．
分析：
（1）利用向量共线的条件，建立方程，即可求tanθ的值；
（2）依据||=||，利用模长公式，结合角的范围，即可得到结论．
解答：
解：（1）∵=（sinθ，cosθ），=（1，1），∥，
∴sinθ=cosθ
∴tanθ==；
（2）∵||=||，
∴（sinθ）2+（cosθ）2=2
∴cos2θ=
∴cosθ=±
∵0＜θ＜π，∴θ=或．
点评：
本题考查向量学问，考查向量共线定理，考查向量模的计算，考查同学的计算力气，属于中档题．
16．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜．
（1）若coscosφ﹣sinsinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式，并求函数f（x）在R上的单调递增区间．
考点：
两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．3259693
专题：
三角函数的求值．
分析：
（1）利用特殊角的三角函数以及两角和与差公式化简为cos（+Φ）=0，即可求出φ的值．
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式，再由正弦函数的单调性求得递增区间．
解答：
解：（1）coscosφ﹣sinsinφ=cos（+φ）=0
∵|φ|＜．
∴φ=
（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+）依题意，=
又∵T=故ω=3，
∴f（x）=sin（3x+）
2kπ﹣≤3x+≤2kπ+ （k∈Z）⇒﹣≤x≤kπ+（k∈Z）
∴函数f（x）在R上的单调递增区间为[﹣，kπ+]（k∈Z）
点评：
本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的单调性，考查计算力气，是常考题．
17．（14分）如图，已知角α的终边在其次象限，且与单位圆交于点P（m，）．
（1）求实数m的值；
（2）求的值．
考点：
运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．3259693
专题：
计算题．
分析：
（1）依据P点在单位圆上，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）由点P坐标求出sinα与cosα的值，所求式子利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，将sinα与cosα的值代入计算即可求出值．
解答：
解：（1）依据题意得：=1，且m＜0，
解得：m=﹣；
（2）∵sinα=，cosα=﹣，
∴原式====．
点评：
此题考查了运用诱导公式化简求值，娴熟把握公式是解本题的关键．
18．（14分）已知{an}是公差为2的等差数列，且a3+1是al+1与a7+1的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=，求数列{b}的前n项和Tn．
考点：
数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．3259693
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
（1）由{an}是公差为2的等差数列，a3+1是al+1与a7+1的等比中项，知，解得a1=3，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由==，知，由此利用错位相减法能够求出数列{b}的前n项和Tn．
解答：
解：（1）∵{an}是公差为2的等差数列，
∴a3=a1+4，a7=a1+12，
∵且a3+1是al+1与a7+1的等比中项，
∴（a3+1）2=（a1+1）（a7+1），
∴，
解得a1=3，
∴an=3+2（n﹣1），
∴an=2n+1．
（2）==，
∴，①
∴=，②
①﹣②，得=1+=﹣=2﹣﹣，
∴．
点评：
本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，认真解答，留意错位相减法的合理运用．
19．（14分）（2022•钟祥市模拟）某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城动身有一条大路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的大路上B处，有一人正沿大路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？