【解析版】江苏省常州市2021届高三上学期期末考试数学试题.doc

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参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．（5分）设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为　0　．
考点：
集合的包含关系推断及应用．
专题：
阅读型．
分析：
依据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．
解答：
解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．
故答案是0
点评：
本题考查集合中参数的确定．要留意验证集合中元素的互异性．
2．（5分）已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：=　﹣i　．
考点：
复数代数形式的乘除运算．3794729
专题：
计算题．
分析：
把复数z以及它的共轭复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求结果．
解答：
解：由于复数z=﹣1+i（为虚数单位），=﹣1﹣i，
所以====﹣i．
故答案为：﹣i．
点评：
本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算力气．
3．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为　　．
考点：
双曲线的简洁性质．3794729
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．
解答：
解：双曲线的渐近线方程为y=x，
故y=x经过点（1，2），可得b=2a，
故双曲线的离心率e====
故答案为：
点评：
本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．
　
4．（5分）依据如图所示的算法，可知输出的结果为　11　．
考点：
伪代码．3794729
专题：
计算题；概率与统计．
分析：
依据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列{2n﹣1}的前n项和，在S≤1023的状况下连续循环体，直到S＞1023时结束循环体并输出下一个n值．由此结合题意即可得到本题答案．
解答：
解：依据题中的伪代码，可得
该程序经过第一次循环得到S=2°，n=1；
然后经过其次次循环得到S=2°+21，n=2；
然后经过第三次循环得到S=2°+21+22，n=2；
…
依此类推，当S=2°+21+22+…+2n＞1023时，输出下一个n值
由以上规律，可得：
当n=10时，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n变成11并且输出
由此可得，输出的结果为11
故答案为：11
点评：
本题给出程序框图，求20+21+22+…+2n＞1023时输出的n+1，属于基础题．解题的关键是先依据已知条件推断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．
　
5．（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的大事的概率为　　．
考点：
古典概型及其概率计算公式．3794729
专题：
概率与统计．
分析：
利用古典概型的概率计算公式即可得出．
解答：
解：从10幅名画中任买一件有=10种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有
=2．
因此此人买入的这幅画是膺品的大事的概率P=．
故答案为．
点评：
正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键．
　
6．（5分）函数的最小正周期为　2　．
考点：
二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．3794729
专题：
计算题；三角函数的图像与性质．
分析：
先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求
解答：
解：∵=cos=
依据周期公式可得T=
故答案为：2
点评：
本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，属于基础试题
　
7．（5分）函数的值域为　（﹣∞，2]　．
考点：
函数的值域．3794729
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．
解答：
解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．
∴函数的值域为（﹣∞，2]．
故答案为（﹣∞，2]．
点评：
娴熟把握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．
　
8．（5分）已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线相互平行，则a3+b2+d=　7　．
考点：
利用导数争辩曲线上某点切线方程．3794729
专题：
导数的综合应用．
分析：
曲线在点A和点B处的切线相互平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．
解答：
解：设f（x）═ax3+bx2+d，
∵f′（x）=3ax2+2bx，
∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．
依据题意得 3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．
又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，
∴解得：
a3+b2+d=7．
故答案为：7．
点评：
此题考查同学会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．
　
9．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为　π　．
考点：
数量积表示两个向量的夹角．3794729
专题：
平面对量及应用．
分析：
利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出．
解答：
解：∵，，
∴=（﹣2，4），=（2，﹣4）．
∴=﹣2×2+4×（﹣4）=﹣20，==．
∴==﹣1，
∴．
或由，得．
故向量，的夹角的大小为π．
故答案为π．
点评：
娴熟把握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键．
　
10．（5分）给出下列命题：
（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；
（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，全部真命题的序号为　（1）、（3）、（4）　．
考点：
命题的真假推断与应用．3794729
专题：
证明题．
分析：
依据面面垂直的判定定理，可推断（1）；依据平面与平面平行的判定定理，可推断（2）；依据空间直线夹角的定义，可推断（3），依据面面垂直的性质定理及反证法，可推断（4）
解答：
解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；
假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；
依据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；
依据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确
故真命题有（1）、（3）、（4）三个
故答案为：（1）、（3）、（4）
点评：
本题以命题的真假推断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，娴熟把握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．
　
11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是　　．
考点：
函数零点的判定定理．3794729
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用数形结合和函数的单调性即可得出．
解答：
解：如图所示：
①当x≥2时，由函数f（x）=单调递减可得：0＜f（x）=；
②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．
由图象可知：由0＜2k＜1可得，
故当时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，
∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是
．
故答案为．
点评：
娴熟把握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．
　
12．（5分）已知数列{an}满足，，则=　　．
考点：
数列递推式；数列的求和．3794729
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
由，，知an+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．
解答：
解：∵，，
∴an+1=，
∴==+，
∴+=3（+），即=3，
∴=3n﹣1，即=3n﹣1，
∴=3n﹣1﹣，
∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣
=
=．
故答案为：．
点评：
本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，留意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．
　
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为　　．
考点：
平面对量数量积的运算．3794729
专题：
平面对量及应用．
分析：
利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出．
解答：
解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，﹣2）．
令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．
设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．
则=（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ）
=﹣2cosθ（2﹣2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）
=4sinθ﹣4cosθ+4
=φ）+4≤，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．
∴的最大值为 ．
故答案为 ．
点评：
娴熟把握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键．
　
14．（5分）已知实数x，y同时满足，，27y﹣4x≤1，则x+y的取值范围是　　．
考点：
有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．3794729
专题：
探究型；函数的性质及应用．
分析：
题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=，y=时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y取值唯一，从而可得x+y的取值范围．
解答：
解：当x=，y=时，
，
=，
．
由知，等式右边确定，左边y随x的增大而减小，
而当y减小x增大时，log27y﹣log4x＜，
当x减小y增大时，27y﹣4x＞1．
均与题中所给条件不等式冲突．
综上，只有x=，y=时，条件成立，
所以x+y的取值范围为{}．
故答案为{}．
点评：
本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培育了同学的探究力气，此题是中档题．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知α，β均为锐角，且，．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求cosβ的值．
考点：
两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．3794729
专题：
三角函数的求值．
分析：
（1）依据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．
（2）由（1）可得，，，依据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．
解答：
解：（1）∵，从而．
又∵，∴． …（4分）
利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且 ，
解得 ． …（6分）
（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴． …（10分）
∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）
==． …（14分）
点评：
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．
　
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；
（3）求证：DN⊥平面PCB．
考点：
直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．3794729
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．
（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．
（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再依据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．
解答：
证明：（1）由于点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）
由于CD∥AB，所以MN∥CD．
又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）
（2）由（1）可得MN∥CD．
由于AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD． 又由于PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）
由于MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（8分）
（3）由于PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°． …（9分）
在Rt△PDA中，，，，．
在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，
从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN． …（11分）
在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则DN⊥PB．…（13分）
又由于PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB． …（14分）
点评：
本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，属于中档题．
　
17．（14分）第八届中国花博会将于2021年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的外形是大小确定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b为常数且满足b＜a．组委会打算从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（l＞2b），如图．设AE=x，△AEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．
考点：
依据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．3794729
专题：
应用题．
分析：
（1）依据题意，分析可得，欲求，△AEF场地占地面积，只须求出图中直角三角形的周长求出另一边长AF，再结合直角三角形的面积计算公式求出它们的面积即得；
（2）对于（1）所列不等式，可利用导数争辩它的单调性求它的最大值，从而解决问题．
解答：
解：（1）设AF=y，则，
整理，得．…（3分）
，x∈（0，b]． …（4分）
（2）