【解析版】广东省汕头市2021-2022学年高二下学期期末考试数学理试题.doc

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参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．（5分）（2021•南充一模）已知全集U=R，集合A={x|0＜2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁UB）=（　　）
　
A．
{x|x＞1}
B．
{x|x＞0}
C．
{x|0＜x＜1}
D．
{x|x＜0}
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
解指数不等式可以求出集合A，解对数不等式可以求出集合B，进而求出∁UB，依据集合并集运算的定义，代入可得答案．
解答：
解：∵A={x|0＜2x＜1}{x|x＜0}，
B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，
所以CUB={x|x≤1}，
∴A∩（CUB）={x|x＜0}．
故选D
点评：
本题考查的学问点是集合的交并补集的混合运算，其中解指数不等式和对数不等式分别求出集合A，B，是解答本题的关键．
　
2．（5分）（2022•焦作模拟）已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在（　　）
　
A．
第一象限
B．
其次象限
C．
第三象限
D．
第四象限
考点：
复数的代数表示法及其几何意义．
专题：
计算题．
分析：
依据=i+2i2+3i3=1﹣2﹣3i=﹣1﹣3i复数z对应的点为（﹣1，﹣3），得出结论．
解答：
解：z=i+2i2+3i3=1﹣2﹣3i=﹣1﹣3i
复数z对应的点为（﹣1，﹣3）
所以复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在第三象限．
故选C
点评：
本题考查两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，是一道基础题．
　
3．（5分）（2021•深圳一模）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
简洁空间图形的三视图．
专题：
计算题．
分析：
沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的左视图首先应当是一个正方形，中间的棱在左视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对比四个答案中的视图外形，即可得到答案．
解答：
解：由已知中几何体的直观图，
我们可得左视图首先应当是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在左视图中表现为一条对角线，故C不正确；
而对角线的方向应当从左上到右下，故A不正确
故B选项正确．
故选B
点评：
本题考查的学问点是简洁空间图象的三视图，其中娴熟把握简洁几何体的三视图的外形是解答此类问题的关键．
　
4．（5分）（2021•丰台区一模）已知变量x，y满足约束条件，则e2x+y的最大值是（　　）
　
A．
e3
B．
e2
C．
1
D．
e﹣4
考点：
简洁线性规划的应用．
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
令z=2x+y，作出可行域，利用线性规划学问可求得z的最大值，进而可得e2x+y的最大值．
解答：
解：作出可行域如下图阴影所示：
由得，所以B（1，0），
令z=2x+y，则当直线y=﹣2x+z经过点B时该直线在y轴上的截距z最大，
zmax=2×1+0=2，
所以e2x+y的最大值是e2．
故选B．
点评：
本题考查线性规划的简洁应用及指数函数的单调性，考查同学机敏运用所学学问分析解决问题的力气．
　
5．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，则双曲线离心率为（　　）
　
A．
B．
C．
2
D．
3
考点：
双曲线的简洁性质；直线与圆的位置关系．
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
利用圆心（0，2）到双曲线﹣=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率．
解答：
解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0，
依题意，直线bx±ay=0与圆x2+（y﹣2）2=1相切，
设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d，
则d===1，
∴双曲线离心率e==2．
故选C．
点评：
本题考查双曲线的简洁性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算力气，属于中档题．
　
6．（5分）（2021•浙江模拟）阅读下面程序框图，则输出结果s的值为（　　）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
循环结构．
专题：
图表型．
分析：
由2021除以6余数为3，依据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，得出6个一循环，可得出所求的结果．
解答：
解：∵2021÷6=335…3，
∴依据程序框图转化得：
sin +sin +sinπ+…+sin =（ ++0﹣﹣+0）+（ ++0﹣﹣+0）+…+（ ++0﹣﹣+0）+++0=．
故选D．
点评：
此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是解本题的关键．
　
7．（5分）在下列命题中，
①“a=”是“sina=1”的充要条件；
②（+）4的开放式中的常数项为2；
③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=；
④已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x； 命题q：∃x∈（﹣∞，0）3x＞2x，则命题 p∧（￢q）为真命题；
其中全部正确命题的序号是（　　）
　
A．
①②④
B．
②③
C．
②③④
D．
①③④
考点：
命题的真假推断与应用．
专题：
探究型．
分析：
①利用充要条件的定义推断．②利用二项开放式的内容推断．③利用正态分布的学问去推断．④利用复合命题的真假关系推断．
解答：
解：①当sina=1时，α=，所以①错误．
②二项开放式的通项公式为，
由12﹣4k=0，得k=3，即常数项为，所以②正确．
③由于ξ～N（0，1），P（ξ≥1）=p，所以P（ξ≥1）=P（ξ≤﹣1）=p，
所以P（﹣1＜ξ＜0）=．所以③正确．
④由于命题p为真，q为假，所以￢q为真，所以p∧（￢q）为真命题，所以④正确．
故选C．
点评：
本题主要考查了命题的真假推断，综合性较强，要求娴熟把握相关的学问．
　
8．（5分）设Q为有理数集，a，b∈Q，定义映射fa，b：Q→Q，x→ax+b，则fa，b•fc．d定义为Q到Q的映射：（fa，b•fc．d）（x）=fa，b（fc．d（x）），则（fa，b•fc．d）=（　　）
　
A．
fac，bd
B．
fa+c，b+d
C．
fac，ad+b
D．
fab，cd
考点：
映射．
专题：
新定义．
分析：
依据映射的定义，分别求出fa，b，fc．d，然后求出（fa，b•fc．d），依据映射关系确定答案．
解答：
解：依据映射的定义可设对应的函数为fa，b：y=ax+b，fc．d：y=cx+d．
则（fa，b•fc．d）（x）=fa，b（fc．d（x））=fa，b（cx+d）=a（cx+d）+b=acx+ad+b，
依据映射的定义为fac，ad+b：x→acx+ad+b，
故选C．
点评：
本题主要考查了映射的定义，依据映射的定义得到相应的对应关系是解决本题的关键．
　
二、填空题：（本大共7小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置．必做题（9～13题），选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
9．（5分）（2022•宁国市模拟）抛物线y=x2的焦点坐标为　　．
考点：
椭圆的简洁性质．
专题：
计算题．
分析：
依据抛物线的标准方程，再利用抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），求出物线y=x2的焦点坐标．
解答：
解：∵抛物线y=x2，即 x2=y，
∴p=，=，
∴焦点坐标是 （0，﹣），
故答案为：（0，﹣）．
点评：
本题考查抛物线的标准方程和简洁性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，﹣），属基础题．
　
10．（5分）函数y=x2﹣2x﹣3在点M（2，﹣3）处的切线方程为　2x﹣y﹣7=0　．
考点：
利用导数争辩曲线上某点切线方程．
专题：
导数的综合应用．
分析：
求导数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程．
解答：
解：求导函数，y′=2x﹣2
∴x=2时，y′=2
∴函数y=x2﹣2x﹣3在点M（2，﹣3）处的切线方程为y+3=2（x﹣2），即2x﹣y﹣7=0
故答案为：2x﹣y﹣7=0．
点评：
本题考查导数学问的运用，考查导数的几何意义，属于基础题．
　
11．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=　0　．
考点：
平面对量数量积的运算．
专题：
平面对量及应用．
分析：
由向量，，满足∥且⊥，可得．再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
解答：
解：∵向量，，满足∥且⊥，∴．
∴．
∴•（+2）==0．
故答案为0．
点评：
娴熟把握向量垂直与数量积的关系及平行向量的性质是解题的关键．
　
12．（5分）我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在△ABC中，三条边a，b，c对应的内角分别为A、B、C，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：a2=b2+c2﹣2bccosA，请你用规范合理的文字叙述余弦定理（留意，表述中不能毁灭任何字母）：　三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差　．
考点：
余弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
依据边角关系的符号表示，即可得到文字叙述．
解答：
解：文字叙述余弦定理为：三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差．
故答案为：三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差．
点评：
本题考查余弦定理的表述方法，考查同学理解力气，属于基础题．
　
13．（5分）不等式|2x﹣1|＞2x﹣1解集为　{x|}　．
考点：
确定值不等式的解法．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
通过分类争辩右边≥0与右边＜0即可得出．
解答：
解：①当时，原不等式可化为2x﹣1＞2x﹣1，即0＞0，冲突，应舍去；
②当时，左边≥0，右边＜0，明显左边＞右边，因此．
综上可知：不等式|2x﹣1|＞2x﹣1解集为{x|}．
故答案为{x|}．
点评：
娴熟把握分类争辩的思想方法是解题的关键．
　
14．（5分）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点（2，）为圆心，半径为2的圆的极坐标方程为　ρ=4sinθ　．
考点：
简洁曲线的极坐标方程．
专题：
直线与圆．
分析：
由题意可得 圆心的直角坐标为（0，2），半径为2，求得圆的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，即 x2+y2=4y．再依据极坐标与直角坐标的互化公式可得它的极坐标方程．
解答：
解：由题意可得 圆心的直角坐标为（0，2），半径为2，故圆的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，
即 x2+y2=4y．
再依据极坐标与直角坐标的互化公式可得 ρ2=4ρsinθ，即 ρ=4sinθ，
故答案为 ρ=4sinθ．
点评：
本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，简洁曲线的极坐标方程，属于基础题．
　
15．（2021•广东模拟）如图，⊙O中的弦CD与直径AB相交于点E，M为AB延长线上一点，MD为⊙O的切线，D为切点，若AE=2，DE=4，CE=3，DM=4，则OB=　4　，MB=　　．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
计算题．
分析：
先依据相交弦定理得求出EB，即可求出OB；再结合切割线定理即可求出MB．
解答：
解：由相交弦定理得：CE•ED=AE•EB⇒=6．
∴OB==4．
又∵MD2=MB•MA=MB•（MB+BA）．
设MB=x
∴16=X•（X+8）⇒x=﹣4+4，x=﹣4﹣4（舍）．
故答案为：4，4﹣4．
点评：
本题主要考查与圆有关的比例线段、相交弦定理及切线性质的应用．属于基础题．考查计算力气．
　
三．解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S5=35．
（Ⅰ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=p（p≠0），求数列{bn}的前n项的和Tn．
考点：
等差数列的前n项和；数列的求和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
（I）利用等差数列的通项公式即可得到a1与d，再利用前n项和公式即可得出；
（II）利用（I）可得bn，利用等比数列的定义即可证明数列{bn}为等比数列，即可求出其前n项和．
解答：
解：（Ⅰ）设数列{an}的首项为a1，公差为d．
则
解得，
∴an=3n﹣2．
∴前n项和Sn==．
（Ⅱ）∵an=3n﹣2，∴，且b1=p（p≠0）．
当n≥2时，=p3为定值，
∴数列bn构成首项为p，公比为p3的等比数列．
所以 （1）当p3=1，即p=1时，Tn=n，
（2）当p3≠1，即p≠1时数列{bn}的前n项的和是
=．
点评：
娴熟把握等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式等是解题的关键．
　
17．（12分）（2021•延庆县一模）（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严峻：

日均浓度
0～35
35～75
75～115
115～150
150～250
＞250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类型
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严峻污染
甲、，：
（Ⅰ）依据你所学的统计学问估量甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）
（Ⅱ）在15天内任取1天，估量甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；
（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．
考点：
离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．
专题：
概率与统计．
分析：
（I）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好．
（II）由（I）的分析及相互独立大事的概率计算公式即可得出；
（III）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．
（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，
在15天内任取1天，估量甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为．
（Ⅲ）X的取值为0，1，2，
，，．
X的分布列为：
X
0
2
P
数学期望．
点评：
正确理解茎叶图、相互独立大事的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键．
　
18．（14分）已知函数f（x）=2sinx﹣2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（）=，x0，求cos2x0的值．
（Ⅲ）在锐角△ABC中，三条边a，b，c对应的内角分别为A、B、C，若b=2，C=，且满足f（﹣）=，求△ABC的面积．
考点：
两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
专题：
解三角形．
分析：
（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式求得函数f（x）为 sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期T==π．
（Ⅱ）由已知得f（）=sinx0+cosx0=，两边平方，求得sin2x0=﹣． 由 x0 可得 2x0，再由 cos2x0=