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参考答案与试题解析
第一部分基础检测
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（ ）
A．
60°
B．
120°
C．
150°
D．
30°
考点：
直线的倾斜角．
专题：
计算题．
分析：
求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，得到选项．
解答：
解：由直线x﹣y+1=0可知：直线的斜率k=tanα=，
∵0≤α＜π，且tanα=，
∴α=60°，
故选A．
点评：
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出直线的斜率是解题的关键．
2．（5分）（2021•资阳一模）若a＞b＞0，则下列不等式确定不成立的是（ ）
A．
B．
log2a＞log2b
C．
a2+b2≤2a+2b﹣2
D．
考点：
不等关系与不等式．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
由已知a＞b＞0及不等式的基本性质和函数y=log2x单调性可得到A．B．D皆正确，因此C确定不成立．
解答：
解：∵a2+b2﹣2a﹣2b+2=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，当且仅当a=b=1时取等号，而已知a＞b＞0，故上式的等号不成立，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2＞0．
即确定有a2+b2＞2a+2b﹣2．∴a2+b2≤2a+2b﹣2确定不成立．
故选C．
点评：
本题考查了不等式的基本性质和函数的单调性的应用，正确理解是解题的关键．
3．（5分）（2008•福建）设{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．
128
B．
80
C．
64
D．
56
考点：
等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：
计算题；方程思想．
分析：
利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可求解．或利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质a
2+a7=a1+a8求解．
解答：
解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由等差数列的通项公式以及已知条件得，
解得，故s8=8+=64．解法2：∵a2+a7=a1+a8=16，
∴s8=×8=64．
故选C．
点评：
解法1用到了基本量a1与d，还用到了方程思想；
解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．
特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．
4．（5分）不等式组的解集是（ ）
A．
{x|﹣1＜x＜1}
B．
{x|1＜x≤3}
C．
{x|﹣1＜x≤0}
D．
{x|x≥3或x＜1}
考点：
一元二次不等式的解法．
专题：
计算题．
分析：
原不等式相当于不等式组，接下来分别求解不等式①②即可，最终求①②解集的交集即得所求的解集．
解答：
解析：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|﹣1＜x＜1}，
不等式②的解集为{x|x＜0或x＞3}．
因此原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}∩{x|﹣1＜x＜1}={x|﹣1＜x≤0}
故答案为{x|﹣1＜x≤0}
故选C．
点评：
本小题主要考查不等关系与不等式应用、一元二次不等式的解法、集合的运算等基础学问，考查运算求解力气．属于基础题．
5．（5分）已知△ABC中，a=10，，A=45°，则B等于 （ ）
A．
60°
B．
120°
C．
30°
D．
60°或120°
考点：
正弦定理．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
直接利用正弦定理求出B的三角函数值，然后求出角的大小．
解答：
解：由于△ABC中，a=10，，A=45°，
由正弦定理可知，sinB===，
所以B=60°或120°．
故选D．
点评：
本题考查正弦定理的应用，留意特殊角的三角函数值的求法．
6．（5分）（2021•自贡一模）运行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A．
﹣2
B．
3
C．
4
D．
8
考点：
程序框图．
专题：
计算题．
分析：
会依据s←s+（﹣1）nn计算s的值及推断出当n←5时跳出循环结构，即可得出答案．
解答：
解：∵n←1，s←1+（﹣1）1×1；∴n←2，s←0+（﹣1）2×2；∴n←3，s←2+（﹣1）3×3；∴n←4，s←﹣1+（﹣1）4×4；∴n←5，s←3+（﹣1）5×5．
当n=6时，应跳出循环程序，并输出s的值是﹣2．
故选A．
点评：
正确理解循环结构的功能和会使用推断框中的条件推断何时跳出循环结构是解题的关键．
7．（5分）已知点A（1，3），B（3，1 ），C（﹣1，0），则△ABC的面积为（ ）
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
考点：
三角形的面积公式；点到直线的距离公式．
专题：
计算题．
分析：
先找出△ABC的位置，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积可得出答案．
解答：
解：如图，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积，
则S△ABC=S△CAE+SAEDB﹣S△CDB
=×3×2+（1+3）×2﹣×4×1=5．
故选A．
点评：
本题考查三角形的面积，解答本题的关键是利用将△ABC的面积转化，这种方法比较好，同学们要留意．
8．（5分）（2008•四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（ ）
A．
（﹣∞，﹣1]
B．
（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．
[3，+∞）
D．
（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
考点：
等比数列的前n项和．
分析：
首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后依据q的正负性进行分类，最终利用均值不等式求出S3的范围．
解答：
解：∵等比数列{an}中，a2=1
∴
∴当公比q＞0时，；
当公比q＜0时，．
∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
故选D．
点评：
本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．
9．（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y﹣3的取值范围是 （ ）
A．
[，9]
B．
[﹣，6]
C．
[﹣2，3]
D．
[1，6]
考点：
简洁线性规划．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A、B时，z最小最大，从而得出目标函数z=3x+y﹣3的取值范围．
解答：
解：画出不等式表示的平面区域
将目标函数为z=3x+y﹣3，作出目标函数对应的直线，
直线过B（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，最大值为﹣2；
当直线过A（2，0）时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为3；
则目标函数z=3x+y﹣3的取值范围是[﹣2，3]．
故选C．
点评：
本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
10．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（ ）
A．
通过平移可以重合
B．
不行能垂直
C．
可能与x轴围成等腰直角三角形
D．
通过绕l1上某点旋转可以重合
考点：
两条直线的交点坐标．
专题：
计算题．
分析：
分别找出两直线的斜率，依据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发觉两直线的斜率不行能相等，所以两直线不行能平行，必定相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．
解答：
解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，
而sinα∈[﹣1，1]，即直线l1的斜率k1∈[﹣1，1]，
直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，
∵k1≠k2，
∴直线l1与l2不行能平行，即两直线必定相交，
则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．
故选D
点评：
此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，依据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．
二．填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）若关于x的不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是 （﹣∞，0）∪（4，+∞） ．
考点：
一元二次不等式的解法．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
分别争辩m=0和m≠0，利用不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，解出m的取值范围．
解答：
解：若m=0，则原不等式等价为1＜0，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即m≠0．
若m≠0，要使不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，则
①m＞0时，有△=m2﹣4m＞0，解得m＞4．
②若m＜0，则满足条件．
综上满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
点评：
本题主要考查一元二次不等式的基本解法，要留意分类争辩．
12．（5分）（2022•聊城一模）已知b＞0，直线b2x+y+1=0与ax﹣（b2+4）y+2=0相互垂直，则ab的最小值为 4 ．
考点：
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．
分析：
两条直线垂直，则斜率的乘积为﹣1．
解答：
解：由题意，，即
∴
当b=2时，ab的最小值为4．
点评：
不等式运用时要留意“一正二定三相等”．
13．（5分）点P（a，4）到直线x﹣2y+2=0的距离等于2，且在不等式3x+y＞3表示的平面区域内，则P点坐标为 （16，4） ．
考点：
点到直线的距离公式．
专题：
直线与圆．
分析：
利用点到直线的距离公式和线性规划的学问即可得出．
解答：
解：由题意知，
解得a=16或a=﹣4．
又P（a，4）在不等式3x+y＞3表示的平面区域内，
∴a=16，
∴P（16，4）．
故答案为（16，4）．
点评：
娴熟把握点到直线的距离公式和线性规划的学问是解题的关键．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（2，2），C（﹣2，﹣1）
（1）以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为 ，5 ；
（2）△ABC内角B的角平分线所在直线的方程是 x﹣y=0 ．
考点：
平行向量与共线向量；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；直线的一般式方程．
专题：
综合题；平面对量及应用．
分析：
（1）所求对角线的长为向量、的模；
（2）由=5，=|（﹣4，﹣3）|=5，可推断该三角形为等腰三角形，从而知B的平分线即为中线，求出中点，进而可求得斜率，由点斜式即可得到答案；
解答：
解：（1）=（3，4），=（﹣1，1），
=（2，5），=（4，3），
所以两对角线的长分别为：=，=5；
（2）=5，=|（﹣4，﹣3）|=5，
所以△ABC为等腰三角形，则内角B的角平分线也为中线，
AC边的中点为（﹣，﹣），所以所求直线的斜率为：=1，
所求直线方程为：y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0，
故答案为：（1）； （2）x﹣y=0．
点评：
本题考查平面对量的加法、减法及其几何意义，考查直线的一般式方程，属中档题．
三．解答题（每题10分，共30分）
15．（10分）求过直线l1：x﹣2y+3=0与直线l2：2x+3y﹣8=0的交点，且到点P（0，4）的距离为1的直线l的方程．
考点：
点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．
专题：
直线与圆．
分析：
确定l1，l2的交点坐标，分类争辩，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．
解答：
解：由，解得
∴l1，l2的交点为（1，2）…2分
明显，直线x=1满足条件； …4分
另设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，
依题意有：，解得：…8分
∴所求直线方程为3x+4y﹣11=0或x=1….10分
（注：未考虑x=1扣2分）
点评：
本题考查两条直线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查同学的计算力气，属于基础题．
16．（10分）已知f（x）=﹣3x2+a（5﹣a）x+b．
（1）当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值；
（2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围．
考点：
一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．
专题：
函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：
（1）由已知，﹣1，3是﹣3x2+a（5﹣a）x+b=0两解．
（2）由f（2）＜0，即2a2﹣10a+（12﹣b）＞0，分别参数b求解．
解答：
16解由已知，﹣1，3是﹣3x2+a（5﹣a）x+b=0两解．
∴…3分
∴或…5分
（Ⅱ）由f（2）＜0，即2a2﹣10a+（12﹣b）＞0…8分
即b＜2a2﹣10a+12=2（a﹣）2﹣
∴恒成立∴故实数b的取值范围为…10分．
点评：
本题考查二次函数与二次不等式的学问，属于基础题．
17．（10分）（2021•临汾模拟）如图，在△ABC中，．
（1）求sinA；
（2）记BC的中点为D，求中线AD的长．
考点：
余弦定理；正弦定理．
专题：
计算题．
分析：
（1）依据同角三角函数基本关系，利用cosC求得sinC，进而利用两角和公式求得sinA．
（2）先依据正弦定理求得BC，则CD可求，进而在△ADC中，利用余弦定理依据AC和cosC的值求得AD．
解答：
解：（1）由，C是三解形内角，
得
=
（2）在△ABC中，由正弦定理
，又在△ADC中，，
由余弦定理得，=
点评：
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，涉及了同角三角函数基本关系，两角和公式，综合性很强．
其次部分综合力气检测
18．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b在x轴上的截距是（ ）
A．
﹣
B．
C．
﹣
D．
考点：
与直线关于点、直线对称的直线方程．
专题：
计算题．
分析：
点关于直线对称，可以依据对称点的坐标，利用两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程即可求解出直线方程，最终令y=0求出在x轴上的截距．
解答：
解：由题意知，
解得k=﹣，b=，
∴直线方程为y=﹣x+，
其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．
故选D．
点评：
本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、直线的截距、方程组的解法等基础学问，考查运算求解力气．属于基础题．
19．（5分）（2008•长宁区二模）设f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n为常数），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ）
A．
[，2）
B．
[，2]
C．
[，1]
D．
[，1）
考点：
等比数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发觉数列{an}是以为首项，以的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值范围．
解答：
解析：f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），
f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=，
∴f（n）=（）n，
∴Sn==1﹣∈[，1）．
答案：D
点评：
本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．
20．（12分）某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级籽棉2吨、二级籽棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级籽棉1吨，二级籽棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润为900元，每1吨乙种棉纱的利润为600元．工厂在生产这两种棉纱的方案中，要求消耗一级籽棉不超过250吨，二级籽棉不超过300吨．问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大？并求出利润总额的最大值．
考点：
简洁线性规划．
专题：
应用题．
分析：
利用线性规划学问求解，建立约束条件，作出可行域，再依据目标函数z=900x+600y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．
解答：
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x、y吨，利润总额为z，
则z=900x+600y …2
且…4
作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），
即可行域．…6
作直线l：900x+600y=0，即3x+2y=0，
把直线l向右上方平移至过直线2x+y=250与