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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={1，3，5}，集合B={2，a，b}，若A∩B={1，3}，则a+b的值是（ ）
A．
10
B．
9
C．
4
D．
7
考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
依据题意，分析可得集合B={2，1，3}，从而有a=1、b=3或a=3、b=1，则有a+b=4成立，即可得答案．
解答：
解：依据题意，若A∩B={1，3}，
又由集合A={1，3，5}，则集合B={2，1，3}，
则a=1、b=3或a=3、b=1，
∴a+b=4，
故选C．
点评：
本题考查集合的交集的意义，解题的关键是由交集的意义，得到集合B．
2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1﹣z2的值是（ ）
A．
﹣1+2i
B．
﹣2﹣2i
C．
1+2i
D．
1﹣2i
考点：
复数的代数表示法及其几何意义．
专题：
计算题．
分析：
依据两个复数的加减法的几何意义，复数z1﹣z2的值就是=﹣对应的复数．
解答：
解：依据两个复数的加减法的几何意义可得，复数z1﹣z2的值就是=﹣对应的复数．
即（﹣2﹣i）﹣（i）=﹣2﹣2i，
故选B．
点评：
本题主要考查两个复数的加减法的几何意义，属于基础题．
3．（5分）若点（9，a）在函数y=log3x的图象上，则tan=的值为（ ）
A．
0
B．
C．
1
D．
考点：
对数的运算性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用对数函数的性质和特殊角的正切函数值即可求出．
解答：
解：∵点（9，a）在函数y=log3x的图象上，∴a=log39=2，
∴tan====．
故选D．
点评：
娴熟把握对数函数的性质和特殊角的正切函数值是解题的关键．
4．（5分）（2021•上海）若向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
平面对量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量；数量积推断两个平面对量的垂直关系．
专题：
平面对量及应用．
分析：
由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．
解答：
解：由，则．
所以．
则．
故选C．
点评：
本题考查了平面对量数量积的坐标运算，考查了利用数量积推断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．
5．（5分）（2022•烟台二模）学校为了调查同学在课外读物方面的支出状况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30 人，则n 的值为（ ）
A．
100
B．
1000
C．
90
D．
900
考点：
用样本的频率分布估量总体分布．
专题：
计算题．
分析：
依据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．
解答：
解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（++）×10=，
∴支出在[50，60）元的频率为1﹣=，
∴n的值=；
故选A．
点评：
本题是对频率、频数机敏运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=．
6．（5分）如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P﹣ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于（ ）
A．
17cm
B．
C．
16cm
D．
14cm
考点：
简洁空间图形的三视图．
专题：
计算题．
分析：
侧视图是一个三角形，底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形，即可推断三角形的外形，然后求出周长即可．
解答：
解：由题意可知：侧视图是一个三角形，
底边长是等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形，
腰长5，斜高为h==4，又∵正四棱锥底面正方形的边长为：6，
侧视图的周长为：6+4+4=14 （cm）．
故选D．
点评：
本题考查简洁几何体的三视图，考查空间想象力气，计算力气，是基础题．
7．（5分）（2022•西城区一模）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（ ）
A．
6
B．
5
C．
4
D．
3
考点：
简洁线性规划的应用．
专题：
数形结合；不等式的解法及应用．
分析：
先确定平面区域，再求的最大值，进而可求|x﹣3y|的最大值．
解答：
解：不等式表示的平面区域，如图所示
先求的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．
由，可得x=1，y=2
由图可知，（1，2）到直线x﹣3y=0的距离最大为=
∴|x﹣3y|的最大值为5
故选B．
点评：
本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简洁的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
8．（5分）按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15，则推断框中的整数H=（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
考点：
程序框图．
专题：
图表型．
分析：
由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过次运算后输出的结果是15，从而得出推断框中的整数H．
解答：
解：由图知运算规章是对S=2S+1，故
第一次进入循环体后S=2×1+1=3，
其次次进入循环体后S=2×3+1=7，
第三次进入循环体后S=2×7+1=15，
由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第三次进入循环体后A=3．
故推断框中H的值应为3，这样就可保证循环体只能被运行三次．
故选A．
点评：
本题考查循环结构，已知运算规章与最终运算结果，求运算次数的一个题．是算法中一种常见的题型．
9．（5分）给出下面结论：
①命题p：“∃x0∈R，x﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”
②函数f（x）=2x+3x的零点所在区间是（﹣1，0）；
③函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数图象；
④对于直线m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中正确结论的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
特称命题；命题的否定；命题的真假推断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
计算题．
分析：
①由特称命题的否定规律可作出推断；②代值可得f（﹣1）f（0）＜0，由零点的存在性定理可得结论；③由图象的平移规律，可得到函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，而非图象；④由条件可得n∥α，或n⊂α，不愿定是n∥α．
解答：
解：①由特称命题的否定可知：命题p：“∃x0∈R，x﹣3x0+2≥0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣3x+2＜0”，故正确；
②f（﹣1）=2﹣1﹣3=，f（﹣0）=20+3×0=1，满足f（﹣1）f（0）＜0，故函数f（x）=2x+3x在区间（﹣1，0）上有零点，
又函数f（x）单调递增，故有唯一的零点在区间（﹣1，0），故正确；
③函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，而非图象，故错误；
④对于直线m，n和平面α，若m⊥α，m⊥n，则n∥α，或n⊂α，故错误．
故选B
点评：
本题考查命题真假的推断，涉及命题的否定和零点以及函数图象的变换和空间中的线面位置关系，属基础题．
10．（5分）定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
类比推理．
专题：
新定义；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最终利用裂项法，即可求和．
解答：
解：由已知得，
∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，
∴an=4n﹣1，
∴，
∴
∴=．
故选C．
点评：
本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必需作答．
11．（5分）已知，，若均为正实数），类比以上等式，可推想a，t的值，则a﹣t= ﹣29 ．
考点：
类比推理．
专题：
规律型．
分析：
观看所给的等式，第n个式子左边应当是，左边的式子（n+1），写出结果即可．
解答：
解：观看下列等式，，
照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35，
则a﹣t=﹣29．
故答案为：﹣29．
点评：
本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
12．（5分）已知：，则的值为 ．
考点：
三角函数中的恒等变换应用．
专题：
三角函数的求值．
分析：
利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式求得的值，即可求得的值．
解答：
解：∵==，
∴=1﹣﹣
=1﹣+=，
故答案为 ．
点评：
本题主要考查三角恒等变换的应用，角的变换是解题的关键，属于中档题．
13．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上全部根之和为﹣8，其中正确的是 甲、乙、丁 、
考点：
奇偶性与单调性的综合．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1；
依据已知可得（4，0）点是函数图象的一个对称中心；
由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．
解答：
解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故甲的结论正确；
∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）
又由f（x）为奇函数f（x﹣4）=﹣f（4﹣x），即f（x+4）=﹣f（4﹣x），即函数的图象关于（4，0）点对称，故丙的结论错误．
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），
∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），
∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，
又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，
∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，
∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以全部根之和为﹣8．故丁正确
故答案为：甲，乙，丁
点评：
本题考查函数的性质，考查同学分析解决问题的力气，属于中档题．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（5分）（2007•深圳一模）如图，AB是半圆O的直径，C在半圆上，CD⊥AB于D，且AD=3DB，设∠COD=θ，则= ．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
计算题．
分析：
由已知中AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD=3DB，我们可以设出圆的半径为R，进而依据射影定理求出CD的长，解三角形COD即可求出θ角，进而得到答案．
解答：
解：设半径为R，
则AD=R，BD=，
由射影定理得：
CD2=AD•BD
则CD=R，
从而θ=，
故tan2=，
故答案为：．
点评：
本题考查的学问点是直角三角形的射影定理，其中依据射影定理求出CD的长，解三角形COD即可求出θ角，是解答本题的关键
15．（坐标系与参数方程）已知直线l：ρcosθ﹣ρsinθ=4，圆C：ρ=4cosθ，则直线l与圆C的位置关系是 相交 ．（相交或相切或相离？）
考点：
简洁曲线的极坐标方程．
专题：
直线与圆．
分析：
利用利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将直线的极坐标方程化成一般方程，最终计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系．
解答：
解：圆C的直角坐标方程是x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．圆心C（2，0），半径r=2
直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0．所以圆心C到直线l的距离．
故答案为：相交．
点评：
本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的推断，以及转化与化归的思想方法，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2021•眉山二模）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
m
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的全部零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
考点：
列举法计算基本大事数及大事发生的概率；收集数据的方法．
专题：
图表型．
分析：
（1）通过频率分布表得推出m+n=．利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m．
（2）依据条件列出满足条件全部的基本大事总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的大事数，求解即可．
解答：
解：（1）由频率分布表得 +m+++n=1，
即 m+n=．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m=﹣=．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，全部可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记大事A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本大事为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
点评：
本题考查概率、统计等基本学问，考查数据处理力气、运算力气、应用意识．
17．（12分）已知：函数的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．
考点：
二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
（1）依据二倍角的三角函数公式和挂念角公式，化简得f（x）=