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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．（5分）（2021•海淀区二模）集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（ ）
A．
（﹣∞，0]
B．
（﹣∞，1]
C．
[1，2]
D．
[1，+∞）
考点：
并集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解．
解答：
解：由A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，
所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x＜0}=（﹣∞，1]．
故选B．
点评：
本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．
2．（5分）（2021•海淀区二模）已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为（ ）
A．
3
B．
2
C．
3或﹣2
D．
3或﹣3
考点：
等比数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值．
解答：
解：在等比数列{an}中，由a1•a3=4，a4=8，得
，②2÷①得：q4=16，所以q=±2．
当q=2时，代入②得，a1=1．
当q=﹣2时，代入②得，a1=﹣1．
所以a1+q的值为3或﹣3．
故选D．
点评：
本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．
3．（5分）（2021•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规章图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估量值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
几何概型．
专题：
概率与统计．
分析：
依据落到不规章图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，依据所给的正方形的边长，求出面积，依据比值得到要求的面积的估量值．
解答：
解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，
∴不规章图形Ω的面积：正方形的面积=m：n
∴不规章图形Ω的面积=×正方形的面积
=×a2=．
故选C．
点评：
本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两或许型，古典概型要求能够列举出全部大事和发生大事的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
4．（5分）（2021•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．
180
B．
240
C．
276
D．
300
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．
解答：
解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，
四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；
下部是棱长为6的正方体，
所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，
即：5×6×6+4××4=240．
故选B．
点评：
本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算力气．
5．（5分）（2021•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ）
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的推断．
专题：
证明题．
分析：
依据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行推断即可．
解答：
解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”，不能得出AB∥DC，AD∥BC，
如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形．
也就不得到四边形ABCD为平行四边形，
反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，
故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．
故选B．
点评：
本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的推断，能机敏运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目．
6．（5分）（2021•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）
A．
32
B．
36
C．
42
D．
48
考点：
排列、组合及简洁计数问题．
专题：
计算题．
分析：
2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案．
解答：
解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位．
若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以任凭排，
因此有2=12种状况，
同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种状况．
再考虑2和4分别排在十位和千位的状况，不同的排列有两种状况，
而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种状况，
最终剩余的1和3可以任凭排列，因此共有2×2×=8种状况．
因此全部的排法总数为12+12+8=32种．
故选A
点评：
本题考查排列组合及简洁的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题．
7．（5分）（2021•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
B．
1
C．
1
D．
2
考点：
双曲线的简洁性质．
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．
解答：
解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，
由于双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，
c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e===1+．
故选B．
点评：
本题考查抛物线的简洁性质以及双曲线的简洁性质的应用，考查计算力气．
8．（5分）（2021•海淀区二模）若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（ ）
A．
若a3=4，则m可以取3个不同的值
B．
若，则数列{an}是周期为3的数列
C．
∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列
D．
∃m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列
考点：
命题的真假推断与应用．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用周期数列的定义，分别进行推理证明．
解答：
解：对于选项A，由于，
所以，
由于a3=4，所以a2=5或，
又由于，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；
对于选项B，＞1，所以；所以，所以，
所以数列{an}是周期为3的数列，所以选项B正确；
对于选项C，当B可知当＞1时，数列{an}是周期为3的周期数列，所以C正确．
故错误的是D．
故选D．
点评：
本题主要考查周期数列的推导和应用，考查同学的推理力气．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）（2021•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为 2 ．
考点：
点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．
专题：
直线与圆．
分析：
先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离．
解答：
解：直线ρcosθ=2 即 x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，
故答案为 2．
点评：
本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题．
10．（5分）（2021•海淀区二模）已知，，，则a，b，c依据从大到小排列为 c＞b＞a ．
考点：
有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．
专题：
计算题．
分析：
利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出推断．
解答：
解：∵a=ln＜ln1=0，
0＜b=sin≈sin＜sin30°=，
c===＞，
∴c＞b＞a．
故答案为：c＞b＞a．
点评：
本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题．
11．（5分）（2021•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为 ．
考点：
两条直线的交点坐标．
专题：
直线与圆．
分析：
用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标．
解答：
解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=，由点斜式求得它的方程为 y﹣0=（x+2），
即 x﹣3y+2=0．
直线l2过的斜率等于 =﹣，由点斜式求得它的方程为 y﹣0=﹣（x﹣2），
即 x+y﹣2=0．
由 ，解得 ，故直线l1与直线l2的交点坐标为 ，
故答案为 ．
点评：
本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题．
12．（5分）（2021•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b= 2 ；S△ABC= ．
考点：
正弦定理；三角形的面积公式．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
依据正弦定理的式子，即可解出b==2；由三角形内角和定理，算出∠C=75°，再由正弦定理的面积公式，可以算出S△ABC的大小．
解答：
解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，
∴由正弦定理，得b===2
∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°
∴S△ABC=absinC==
故答案为：2，
点评：
本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积．着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等学问，属于基础题．
13．（5分）（2021•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是 [0，1] ．
考点：
平面对量数量积的运算．
专题：
平面对量及应用．
分析：
建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由 =1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．
解答：
解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．
∴=（0，1，0）、 （﹣1，﹣1，1）．
∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．
∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），
∴=1﹣λ∈[0，1]，
故答案为[0，1]．
点评：
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．
14．（5分）（2021•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．
（Ⅰ）给出下列三个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
其中，全部正确结论的序号是 ②③ ；
（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为 ．
考点：
轨迹方程；命题的真假推断与应用．
分析：
依据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
解答：
解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，
∴|x|+|y|=
∴|xy|+x+y﹣1=0
∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0
函数的图象如图所示
∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为=
故答案为：②③；
点评：
本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）（2021•海淀区二模）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．
考点：
二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）函数解析式其次项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，其次项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，依据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．
解答：
解：（I）∵sin（x﹣）≠0，
∴x﹣≠kπ，k∈Z，
则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；
（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），
又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，
令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，
解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，
又留意到x≠kπ+，
则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．
点评：
此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，娴熟把握公式是解本题的关键．
16．（13分）（2021•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了猎取资金资助福利事业，现在福彩中心预备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．
考点：
离散型随机变量及其分布列；互斥大事与对立大事；离散型随机变量的期望与方差．
专题：
概率与统计．
分析：
（I）利用对立大事概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．
解答：
解：（I）设至少一张中奖为大事A，则P（A）=1﹣=…（4分）
（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145…（6分）