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导学目标： ±α，π±α的正弦、余弦、：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：___________________________.
(2)商数关系：___________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝____________，cos(α＋2kπ)＝____________，
tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(－α)＝__________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝__________.
(3)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________.
(4)sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝__________.
(5)sin＝__________，cos＝________.(6)sin＝________，
cos＝__________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：
上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2022·全国Ⅰ改编)cos 300°＝________.
2．(2009·陕西改编)若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．
3．(2022·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝，则sin α＝________.
4．cos(－)－sin(－)＝________.
5．已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________.
探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1 已知－<x<0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求的值．
变式迁移1 已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
探究点二 利用诱导公式化简、求值
例2 (2022·安徽合肥三模)已知sin＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos的值．
变式迁移2 设f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f＝________.
探究点三 综合应用
例3 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
变式迁移3 是否存在角α，β，其中α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
转化与化归思想
例 (14分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出来，并求其值．
多角度审题 由sin α＋cos α＝应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可，(2)需要把弦化成切．
【答题模板】
解 (1)联立方程
由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴，[4分]
∴tan α＝－.[7分]
(2)＝＝＝，[10分]
∵tan α＝－，∴＝＝＝－.[14分]
【突破思维障碍】
由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应留意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应依据α角的范围舍去一个解，若不留意，则误认为有两解．
1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要留意争辩角的范围．
2．留意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．留意“1”的机敏代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确推断．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2021·苏州月考)cos(－)的值是________．
2．已知tan α＝－，且α为其次象限角，则sin α的值等于________．
3．已知f(α)＝，则f(－)的值为________．
4．(2021·连云港调研)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 010)＝－1，则f(2 011)＝________.
5．(2022·全cos(－80°)＝k，则tan 100°＝________.
6．已知tan α＝，则的值为________．
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2022·东北育才学校高三第一次模拟考试)若tan α＝2，则＋cos2α＝________.
二、解答题(共42分)
9．(14分)已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
10．(14分)化简： (k∈Z)．
11．(14分)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－的值．
答案 自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)＝tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)－sin α cos α
－tan α (3)sin α －cos α －tan α (4)－sin α －cos α tan α (5)cos α sin α
(6)cos α －sin α
自我检测
1.
解析 cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.
2.
解析 ∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝，
∴＝
＝＝.
3.
4.
解析 cos(－)－sin(－)＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)
＝cos＋sin＝.
5．－
解析 sin(α－)＝－sin(－α)
＝－sin[(－α)＋]＝－cos(－α)＝－.
课堂活动区
例1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题，对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要留意对符号的推断．
解 由sin x＋cos x＝得，
1＋2sin xcos x＝，则2sin xcos x＝－.
∵－<x<0，∴sin x<0，cos x>0，
即sin x－cos x< x－cos x
＝－
＝－＝－.
(1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)
＝×＝－.
(2)由，
得，则tan x＝－.
即＝＝.
变式迁移1 解 ∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α.
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
方法一 (直接代入法)：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
方法二 (同除转化法)：
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α
＝＝＝.
例2 解题导引 三角函数的诱导公式记忆有确定规律：的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．
解 (1)∵sin＝－，α∈(0，π)，
∴cos α＝－，sin α＝.
∴＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝，
∴sin 2α＝－，cos 2α＝－，
cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
变式迁移2
解析 ∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
例3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最终求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；＋＋＝.
解 由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±.
(1)当cos A＝时，cos B＝，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
变式迁移3 解 假设满足题设要求的α，β存在，则α，β满足
①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
即sin2α＝，sin α＝±.
∵－<α<，∴α＝或α＝－.
(1)当α＝时，由②得cos β＝，
∵0<β<π，∴β＝.
(2)当α＝－时，由②得cos β＝，β＝，但不适合①式，故舍去．
综上可知，存在α＝，β＝使两个等式同时成立．
课后练习区
1.
解析 cos(－)＝cos＝cos(12π－)
＝cos＝.
2.
解析 已知tan α＝－，且α为其次象限角，
有cos α＝－＝－＝－，
所以sin α＝.
3．－
解析 ∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－)
＝－cos(－)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.
4．1
解析 ∵f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)
＝asin[2 010π＋(π＋α)]＋bcos[2 010π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.
5．－
解析 ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
sin 80°＝＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
6．－3
解析 原式＝＝
＝＝＝－3.
7.
解析 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝.
8.
解析 原式＝＋
＝3＋＝3＋＝.
9．解 (1)f(α)＝
＝＝－cos α.…………………………………………………………(7分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，……………………………………………………………………………(10分)
∴cos α＝－＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(14分)
10．解 当k为偶数2n (n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝＝－1；……………………………………………………(6分)
当k为奇数2n＋1 (n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.………………………………………(12分)
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(14分)
11．解 由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a2－2a－1＝0，…………(6分)
从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………………………………………………………(11分)
(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－
＝－(＋)＝－＝－＝1＋.………………………………(14分)
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