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基础巩固
∥l2,在l1上取3个点,l2上取2个点,由这5个点所确定的平面个数为( )
答案: D
解析:∵l1∥l2,∴l1,l2确定唯一平面,所取的5个点均在该面内.
,与边长均为3 cm的△ABC的三个顶点距离均为1 cm的平面共有( )
答案:D
解析:适合条件的平面分两类:第一类,点A,B,C在平面的同侧,有2个;其次类,点A,B,C在平面的异侧(平面过△ABC的中位线),.
,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为( )
答案:C
解析:AB,CD,EF和GH在原正方体中如图所示,明显AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,.
,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )
答案:D
解析:在A图中分别连接PS,QR,
易证PS∥QR,因此P,S,R,Q共面;
在C图中分别连接PQ,RS,
易证PQ∥RS,因此P,Q,R,S共面.
如图,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面,D图中PS与RQ为异面直线,
.
,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
(1)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α;(2)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB;(3)l⊄α,A∈l⇒A∉α;(4)A∈α, A∈l,l⊄α⇒l∩α=A.
A.(1)(3) B.(3)(4)
C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4)
答案:C
,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
° ° ° °
答案:C
解析:如图,可补成一个正方体,
易知AC1∥BD1.
故BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形,
∠A1BD1=60°,
故BA1与AC1成60°的角.
,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,)
C.(1,) D.(1,)
答案:A
解析:如图所示的四周体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=,其他边的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,明显a>0.
取CD中点E,连接AE,BE,则AE⊥CD,BE⊥CD且AE=BE=,明显A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2×>a,解得0<a<.
,若相交于一点,最多能确定 个平面;若相交于两点,最多能确定 个平面;若相交于三点,最多能确定 个平面. 
答案:3 2 1
解析:三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图(1);三条直线相交于两点,最多可确定2个平面,如图(2);三条直线相交于三点,最多可确定1个平面,如图(3).
,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何体是 (写出全部正确结论的编号). 
①矩形
②不是矩形的平行四边形
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四周体
④每个面都是等边三角形的四周体
⑤每个面都是直角三角形的四周体
答案:①③④⑤
解析:分两种状况:4个顶点共面时,几何体确定是矩形;4个顶点不共面时,③④⑤都有可能.
,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论的序号都填上). 
答案:③④
解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.
,β,γ两两相交于直线l1,l2,l3,且l1与l2相交于点P,求证:l1,l2,l3三线共点.
证明:如图所示,∵l1∩l2=P,
∴P∈l1且P∈l2.
又α∩γ=l1,∴l1⊂γ.
故P∈∩β=l2,∴l2⊂∈β.
∵β∩γ=l3,∴P∈l3.
故l1,l2,l3共点于点P.
,已知平面α,β,且α∩β=,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,
∴AB,CD是梯形ABCD的两腰.
故AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M.
又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.
又∵α∩β=l,∴M∈l,
即AB,CD,l共点.
-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角的大小.
解:如图,,PN,则PM∥AB,且PM=AB,
PN∥CD,且PN=CD,从而可知∠MPN为AB与CD所成的角(或所成角的补角),
则∠MPN=60°或∠MPN=120°.
若∠MPN=60°,由于PM∥AB,
所以∠PMN是AB与MN所成的角(或所成角的补角).
又由于AB=CD,
所以PM=PN.
因此△PMN是等边三角形,从而可知∠PMN=60°,
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN=120°,
则易知△PMN是等腰三角形.
从而可知∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.
故直线AB和MN所成的角为60°或30°.
拓展延长
,AB=5,BC=2,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=CF=1,如图(1).现在把纸片沿EF折成图(2)外形,且∠CFD=90°.
(1)求BD的长;
(2)求证:AC,BD交于一点且被该点平分.
解:(1)将平面BF折起后,补成长方体AEFD-A1BCD1,则BD恰好是长方体的一条对角线.
由于AE,EF,EB两两垂直,
所以BD恰好是以AE,EF,EB为长、宽、高的长方体的对角线.
故BD=.
(2)证明:由于AD􀰿EF,EF􀰿BC,
所以AD􀰿BC.
因此点A,D,B,C在同一平面内,且四边形ABCD为平行四边形.
故AC,BD交于一点且被该点平分.