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第一节 坐标系
时间：45分钟 分值：75分
一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)
1．在极坐标系中，则ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________．
解析 方法1：由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
方法2：由ρ＝－2sinθ＝2cos知圆心的极坐标为.
答案
2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．
解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，其极坐标方程为ρcosθ＝1.
答案 ρcosθ＝1
3．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是__________．
解析 圆ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ化为直角坐标为x2＋(y－2)2＝4，直线θ＝也就是过原点且斜率为tanθ＝tan＝的直线，方程为y＝
x，圆心到直线的距离为d＝＝.
答案
4．(2022·武汉市调研)在极坐标系中，与极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A、B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为__________．
解析 圆方程为x2＋y2＝16，圆心到直线l的距离为d＝＝，故直线l的一般方程为x＝2，极坐标方程为ρcosθ＝2.
答案 ρcosθ＝2
5．(2022·安徽联考)极坐标系下，直线ρcos＝与圆ρ＝的公共点个数是__________．
解析 直线方程为x＋y＝2，圆的方程为x2＋y2＝2，圆心到直线的距离d＝＝＝r，故直线与圆相切，只有一个公共点．
答案 1
6．(2021·广东卷)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析 曲线C的一般方程为x2＋y2＝2，圆的几何性质知切线l与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l的斜率为－1，从而l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y＝2化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，化简得ρsin(θ＋)＝.
答案 ρsin(θ＋)＝
7．(2021·江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析 曲线C的一般方程为y＝x2，又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入得ρ2cos2θ－ρsinθ＝0，即ρcos2θ－sinθ＝0.
答案 ρcos2θ－sinθ＝0
8．(2022·临川模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点个数为________．
解析 ∵曲线C1参数方程为
∴x2＋(y－1)2＝1，是以(0,1)为圆心，1为半径的圆．
∵曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，
∴x－y＋1＝0，在坐标系中画出圆与直线的图形，观看可知有2个交点．
答案 2
9．(2022·揭阳一模)已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________．
解析 将方程ρ＝2与ρcos＝化为直角坐标方程得x2＋y2＝(2)2与x－y－2＝0，知C1为以原点为圆心，半径为2的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为，故满足条件的点的个数为3.
答案 3
二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．(2022·厦门二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．
(1)将C1的方程化为一般方程；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2交点的极坐标．
解 (1)C1的一般方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上，
设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C，
∵直线OB倾斜角为，OA＝2，
∴OC＝1，从而OB＝2.
∴交点O，B的极坐标分别为O(0,0)，B.
11．(2022·唐山市期末)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解 (1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则
由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，
所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．
12．(2021·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos(θ－)＝2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标；
(Ⅱ)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解 (Ⅰ)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为(4，)，(2，)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得a＝－1，b＝2.