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A 对点训练——练熟基础学问
题组一 匀速圆周运动的运动学问题
1．(多选)在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个好玩试验．在T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m，，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为T，由此可知 ( )．
A．小球运动的角速度ω＝T/(2π)
B．小球运动的线速度v＝2πL/T
C．小球运动的加速度a＝2π2L/T2
D．细绳中的拉力为F＝4mπ2L/T2
解析 小球运动的角速度ω＝2π/T，选项A错误；线速度v＝ωL＝2πL/T，选项B正确；加速度a＝ω2L＝4π2L/T2，选项C错误；细绳中的拉力为F＝ma＝4mπ2L/T2，选项D正确．
答案 BD
2．(单选)2021年6月20日上午10时，中国载人航天史上的首堂太空授课开讲．航天员做了一个好玩试验：T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．航天员王亚平用手指沿切线方向轻推小球，可以看到小球在拉力作用下在某一平面内做圆周运动．从电视画面上可估算出细绳长度大约为32 cm，小球2 s转动一圈．由此可知王亚平使小球沿垂直细绳方向获得的速度为 ( )．
A． m/s B． m/s
C．1 m/s D．2 m/s
解析 在太空完全失重的环境下，小球在细绳的拉力作用下在某一平面内做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的周长为s＝2πR＝2π× m＝2 m，由
s＝vt可得小球做匀速圆周运动的速度为v＝s/T＝1 m/s，选项C正确．
答案 C
题组二 匀速圆周运动的动力学问题
3．(单选)如图4－3－9所示，是某课外争辩小组设计的可以用来测量转盘转速的装置．该装置上方是一与转盘固定在一起有横向均匀刻度的标尺，带孔的小球穿在光滑细杆与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在转动轴上，小球可沿杆自由滑动并随转盘在水平面内转动．当转盘不转动时，指针指在O处，当转盘转动的角速度为ω1时，指针指在A处，当转盘转动的角速度为ω2时，指针指在B处，设弹簧均没有超过弹性限度．则ω1与ω2的比值为 ( )．
图4－3－9
A. B．
C． D．
解析 小球随转盘转动时由弹簧的弹力供应向心力．设标尺的最小分度的长度为x，弹簧的劲度系数为k，则有kx＝m·4x·ω，k·3x＝m·6x·ω，故有ω1∶ω2＝1∶，B正确．
答案 B
4．(单选)如图4－3－10所示，倾角为30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量为m的小球从斜面上高为处静止释放，到达水平面时恰能贴着挡板内侧运动．不计小球体积，不计摩擦和机械能损失．则小球沿挡板运动时对挡板的压力是 ( )．
图4－3－10
A． B．mg
C． D．2mg
解析 设小球运动至斜面最低点(即进入水平面上的半圆形挡板)时的速度为v，由机械能守恒定律得mg＝mv2，解得v＝；依题意可知，小球贴着挡板内侧做匀速圆周运动，所需要的向心力由挡板对它的弹力供应，设该弹力为FN，则FN＝m，将v＝代入解得FN＝mg；由牛顿第三定律可知，小球沿挡板运动时对挡板的压力大小等于FN，即mg，故选项B正确．
答案 B
5．(2021·江苏卷，2)(单选)如图4－3－11所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 ( )．
图4－3－11
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
解析 A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA＝ωB，但rA<rB，依据v＝ωr得，A的速度比B的小，选项A错误；依据
a＝ω2r得，A的向心加速度比B的小，选项B错误；A、B做圆周运动时的受力状况如图所示，依据F向＝mω2r及tan θ＝＝知，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C错误；由图知＝cos θ，即T＝，所以悬挂A的缆绳受到的拉力小，选项D正确．
答案 D
题组三 离心现象
6．(单选)，共有23个弯道，如图4－3－12所示，赛车在水平路面上转弯时，经常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是 ( )．
图4－3－12
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能准时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有准时加速才造成赛车冲出跑道的
C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有准时减速才造成赛车冲出跑道的
D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越简洁冲出跑道
解析 赛车在水平面上转弯时，它需要的向心力是由赛车与地面间的摩擦力供应的．由F＝m知，当v较大时，赛车需要的向心力也较大，当摩擦力不足以供应其所需的向心力时，赛车将冲出跑道．
答案 C
7．(2021·新课标全国卷Ⅱ，21)(多选)大路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图4－3－13，某大路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向大路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处 ( )．
图4－3－13
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
解析 汽车转弯时，恰好没有向大路内外两侧滑动的趋势，说明大路外侧高一些，支持力的水平分力刚好供应向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确；选项D错误．当v<vc时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v>vc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．
答案 AC
题组四 圆周运动的临界问题
8．(2021·上海卷，6)(单选)秋千的吊绳有些磨损．在摇摆过程中，吊绳最简洁断裂的时候是秋千 ( )．
A．在下摆过程中 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
解析 当秋千摆到最低点时吊绳中拉力最大，吊绳最简洁断裂，选项D正确．
答案 D
9．(2021·北京西城区期末考试)(多选)如图4－3－14所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动．对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的有 ( )．
图4－3－14
A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大
B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小
解析 在最高点时，由mg＝m可得v＝，所以半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大，A正确；由机械能守恒可知mv2＋mg×2R＝mv，所以v0＝，由ω＝＝，故半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小，D正确．
答案 AD
10．(单选)在光滑水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m的小球B，绳长l>h，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图4－3－15所示．要使小球不离开水平面，转轴转速的最大值是 ( )．
图4－3－15
A. B．π
C. D．
解析 当小球即将离开水平面时，FN＝0，对小球受力分析如图．
由牛顿其次定律得：
mgtan θ＝m(2πnm)2R ①
R＝htan θ ②
联立①②得
nm＝ 选项A正确．
答案 A
11．(多选)如图4－3－16所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动．P为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为，则以下推断正确的是 ( )．
图4－3－16
A．小球不能到达P点
B．小球到达P点时的速度小于
C．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
解析 依据机械能守恒定律2mgL＝mv2－mv，可求出小球在P点的速度为<，故B正确，A错误．计算出向心力F＝mg，故小球在P点受到轻杆向上的弹力，故C错误、D正确．
答案 BD
B 深化训练——提高力气技巧
12．(单选)如图4－3－17所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上．若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转动轴的最大距离为 ( )．
图4－3－17
A. B．
C． D．RB
解析 由题图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由ω＝，得＝＝＝.由于小木块恰能在A轮边缘静止，则由静摩擦力供应的向心力达最大值μmg，故μmg＝mωRA ①
设放在B轮上能使木块相对静止的距B轮转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力供应，故
μmg＝mωr ②
因A、B材料相同，故木块与A、B间的动摩擦因数相同，①②式左边相等，故mωRA＝mωr，得r＝2RA＝2RA＝＝.所以选项C正确．
答案 C
13．(单选)雨天的野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”．假如将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来．如图4－3－18所示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特殊位置，则 ( )．
图4－3－18
A．泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B．泥巴在图中的b、d位置时最简洁被甩下来
C．泥巴在图中的c位置时最简洁被甩下来
D．泥巴在图中的a位置时最简洁被甩下来
解析 当后轮匀速转动时，由a＝Rω2知a、b、c、d四个位置的向心加速度大小相等，A错误．在角速度ω相同的状况下，泥巴在a点有Fa＋mg＝mω2R，在b、d两点有Fbd＝mω2R，在c点有Fc－mg＝，简洁被甩下，故B、D错误，C正确．
答案 C
14．(2021·福建卷，20)如图4－3－19所示，一不行伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝ kg 的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝ m，B点离地高度H＝ m，A、B两点的高度差h＝ m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
图4－3－19
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小．
解析 (1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝mv ①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ②
在水平方向上有，s＝vBt ③
由①②③式解得s≈ m
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力供应向心力，有F－mg＝m ⑤
由①⑤式解得F＝20 N
依据牛顿第三定律F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20 N.
答案 (1) m (2)20 N