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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2021·湛江二模)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝________.
解析 a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4.
答案 4
2．(2022·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则在方向上的投影为________．
解析 如图所示，在方向上的投影为||cos 60°＝2×＝1.
答案 1
3．(2021·山东省试验中学诊断)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)．若a＋2b与c垂直，则k＝________.
解析 由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.
所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.
答案 －3
4．(2022·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为________．
解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.
∴2|b|2·cos〈a，b〉＋|b|2＝0，∴cos〈a，b〉＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
答案
5．(2021·福建卷改编)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．
解析 ∵·＝1×(－4)＋2×2＝0，
∴⊥，
∴S四边形＝＝＝5.
答案 5
6．(2021·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·c＝0，则t＝________.
解析 b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2
＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2
＝＋1－t＝1－.
由b·c＝0，得1－＝0，所以t＝2.
答案 2
7．(2021·重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
解析 在矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)，由于⊥，所以·＝0，即－3＋k－1＝0，解得k＝4.
答案 4
8.(2022·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.
解析 由于〈，〉＝60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
答案
二、解答题
9．已知平面对量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)若a⊥b，
则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，
∴|a－b|＝＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
综上，可知|a－b|＝2或2.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2021·泰州一模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为________．
解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.
故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为
cos θ＝＝＝.所以θ＝.
答案
2．已知向量p的模为，向量q的模为1，p与q的夹角为，且a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．
解析 由题意可知较小的对角线为|a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝＝
＝ ＝.
答案
3．(2021·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析 由于e1·e2＝cos ＝，所以b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋＝＝，设t＝，则1＋t2＋t＝2＋≥，所以0＜≤4，即的最大值为4，所以的最大值为2.
答案 2
二、解答题
4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解 由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴
∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.
即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是
∪.