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一、填空题
1．下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝±b；②若a·b＝c·b，且b≠0，则a＝c；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a与b方向相同；④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
解析 ①不正确；②不正确，应是(a－c)⊥b；③正确；④b＝0时不正确．
答案 ③
2．(2021·济南模拟)若a＝(1，－2)，b＝(x,1)，且a⊥b，则x＝________.
解析 由a⊥b，得a·b＝x－2＝0，∴x＝2.
答案 2
3．(2021·昆明期末考试)已知向量a＝(1,1)，b＝(2,0)，则向量a，b的夹角为______．
解析 a＝(1,1)，b＝(2,0)，∴|a|＝，|b|＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.
答案
4．(2021·德州一模)已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是________．
解析 由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又由于a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
答案
5．(2021·浙江五校联考)已知|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析 由|a|＝|b|＝|a－2b|＝1，得a2－4a·b＋4b2＝1，
∴4a·b＝4，∴|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5＋4＝9，
∴|a＋2b|＝3.
答案 3
6．(2022·徐州一模)已知平面对量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为________．
解析 由于(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2.
答案 2
7．(2022·长春一模)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为______．
解析 a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，
所以cos〈a，b〉＝＝＝.所以〈a，b〉＝.
答案
8．(2021·潮州二模)已知向量a＝(1，－cos θ)，b＝(1,2cos θ)且a⊥b，则cos 2θ等于_______．
解析 a⊥b⇒a·b＝0，即1－2cos2θ＝0，∴cos 2θ＝0.
答案 0
9．(2022·成都期末测试)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则＝________.
解析 由2＋＋＝0，得＋＝－2＝2，即＋＝2＝2，所以＝，即O为AD的中点．
答案 －1
10．(2021·潍坊一模)平面上有四个互异点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的外形是________三角形．(填“直角”、“等腰”或“等腰直角”)
解析 由(＋－2)·(－)＝0，
得[(－)＋(－)]·(－)＝0，
所以(＋)·(－)＝0.
所以||2－||2＝0，∴||＝||，
故△ABC是等腰三角形．
答案 等腰
11．(2021·兰州一模)在△ABC中，G是△ABC的重心，AB，AC的边长分别为2,1，∠BAC＝60°.则·＝________.
解析 由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以BC＝，∠ACB＝90°，将直角三角形放入直角坐标系中，如图所示，则A(0,1)，B(－，0)，所以重心
G，所以＝
，＝，所以·＝·＝－.
答案 －
12.(2022·大同一模)如图，AB是圆O的直径，P是圆弧上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝________.
解析 连接AP，＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(
－)＝·－·＋·－2＝－·＋·－2＝·－2＝1×6－1＝5.
答案 5
13．(2022·杭州质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，D为斜边AB的中点，则·＝________.
解析 ·＝·(－)＝·－·＝2×1－2×cos 30°＝－1.
答案 －1
14．(2022·郑州模拟)已知向量|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a－b的夹角为________．
解析 设a与a－b的夹角为θ.
由|a|＝|a＋b|平方得：|a|2＝2|a|2＋2a·b，
∴2a·b＝－|a|2，∴|a－b|2＝2|a|2－2a·b＝2|a|2＋
|a|2＝3|a|2，∴|a－b|＝|a|，
∴cos θ＝＝＝＝，
∴θ＝.
答案
二、解答题
15．(2021·漯河调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)．
(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．
解 (1)∵＝(cos θ－1，t)，
又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t. ①
又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5. ②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.
当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t＝－1时，cos θ＝－1，
∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t＝，
∴y＝cos2θ－cos θ＋
＝cos2θ－cos θ＋＝＋
＝2－，
∴当cos θ＝时，ymin＝－.
16．(2021·辽宁卷)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2 x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2 x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
17．(2021·银川调研)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
(1)解 ∵＋＝2，又2＝－，
∴＋＋＝－＋＝0.
(2)证明 明显＝(a＋b)．
由于G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．
由P，G，Q三点共线，得∥，
所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，
所以a＋b＝λ.
又由于a，b不共线，所以
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
18．(2022·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)．
(1)求f(x)的周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b＞c)．
解 (1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，
∴f(x)的最小正周期T＝π，
∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，
∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋.
∴f(x)的单调递减区间，k∈Z.
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1.
又＜2A＋＜，∴2A＋＝π.∴A＝.
∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－
2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，
又b＞c，∴b＝3，c＝2.