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基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·温岭中学冲刺考试)若e1，e2是平面内的一组基底，则以下的四组向量中不能作为一组基底的是 ( )．
A．e1,2e2 B．e1，e1－e2
C．－e1＋e2，e1－e2 D．e1＋e2，e1－e2
解析 －e1＋e2与e1－e2是一组共线向量，不能作为基底．
答案 C
2．(2022·揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为 ( )．
A．(7,4) B．(7,14)
C．(5,4) D．(5,14)
解析 设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．
由＝3a，得解得
答案 D
，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x ＋y ，且＝2 ，则 ( )．
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析 由题意知＝＋，又＝2 ，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案 A
4．(2021·惠州模拟)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，a∥(a＋b)，则m＝ ( )．
A．2 B．－2
C．－3 D．3
解析 a＋b＝(2，m＋1)，由a∥(a＋b)，得(－1)×(m＋1)－2×1＝0，解得m＝－3.
答案 C
5．(2022·许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于 ( )．
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析 ＝3 ＝3(2 －)＝6 －3 ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
答案 B
二、填空题
6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
7．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
解析 由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
答案 m≠
8．(2021·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝＝λ1 ＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，
即λ1＋λ2＝.
答案
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
法一 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
解得k＝λ＝－，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二 ∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1 ＋t2 .
(1)求点M在其次或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
(1)解 ＝t1＋t2A＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在其次或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0，
(2)证明 当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 ，
∴与共线，又它们有公共点A，
∴A，B，M三点共线．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2021·保定模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ( )．
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，
整理得b2＋a2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝，
又0°<C<180°，∴C＝60°.
答案 B
2．(2022·中山模拟)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m ＋，则m＋n的取值范围是 ( )．
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
解析 由点D是圆O外一点，可设＝λ (λ＞1)，则＝＋λ ＝
λ ＋(1－λ).
又C，O，D三点共线，令＝－μ (μ＞1)，
则＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．
答案 D
二、填空题
3．(2022·南京质检)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
解析 ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1.
∴＋＝(2a＋b)
＝4＋＋≥4＋2 ＝＝，
即b＝，a＝时取等号．∴＋的最小值是8.
答案 8
三、解答题
4．如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解 以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：
①▱ABCD；②▱ADBC；③▱(x，y)，
①若是▱ABCD，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，
即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，
∴∴x＝0，y＝－4.
∴D点的坐标为(0，－4)(如题图中所示的D1)．
②若是▱ADBC，由＝，得
(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，
即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.
∴D点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D2)．
③若是▱ABDC，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2,0)(如题图中所示的D3)，
∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．