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第Ⅰ组：全员必做题
1．(2022·武汉调研)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
2．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．2或－2
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·有最小值，则P点的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
4．(2022·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
5．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
8．(2021·山东高考)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
[来源:]
10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.
(1)求A的大小；
(2)当＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2021·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
2．(2021·天津一中月考)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选D a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cosa，b＝0，故cosa，b＝－，故所求夹角为.
2．选B n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.
3．选C 设P点坐标为(x,0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当x＝3时，·有最小值1.
∴此时点P坐标为(3,0)，故选C.
4．选D 如图，＝＋.
又∵＝2，
∴＝＋＝＋(－)，
即＝＋，
∵∠C＝，∴·＝0，
∴·＝·
＝2＋·＝6，故选D.
5．选C 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，
0≤x≤1.
又M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)，所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋.由于0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是.
6．解析：∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|·cos 45°＝|b|，
∴|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10.
∴|b|＝3.
答案：3
7．解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4.
∴向量＝(－8,8)，∴||＝8.
答案：8
8．解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
9．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
10．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.
∴3cos2A－1＋cos2A＝0，∴cos2A＝.
又∵△ABC为锐角三角形，
∴cos A＝，∴A＝.
(2)由(1)可得m＝，
n＝.∴||＝p，
||＝q.
∴S△ABC＝||·||·sin A＝pq.
又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，
∴·≤，∴·≤3.∴p·q≤9.
∴△ABC面积的最大值为×9＝.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选C 建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a＝(1,0)，b＝(0,1)，令向量c＝(x，y)，则有＝1，|c|的最大值为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即＋1.
2．解析：由＝＝(1,1)，可知四边形ABCD为平行四边形，且||＝||＝，由于＋＝，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD为菱形，其边长为，且对角线BD长等于边长的倍，即BD＝×＝，则CE2＝()2－2＝，即CE＝，所以三角形BCD的面积为××＝，所以四 边形ABCD的面积为2×＝.
答案：