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第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【KS5U解析】由于集合，集合，所以。
2．已知是虚数单位，则等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【KS5U解析】。
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．12 B．11 C． D．
【答案】A
【KS5U解析】由三视图知：该几何体为四棱锥，四棱锥的底面是边长为3和4的长方形，四棱锥的高是3，所以该几何体的体积为。
3．若数列的前n项和为，则下列命题：
（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；
（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；
（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是
（4）若是等比数列，则的充要条件是
其中，正确命题的个数是（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【KS5U解析】数列的前n项和为，故，
若数列是递增数列，则数列不愿定是递增数列，如＜0 时，数列是递减数列，
故（1）不正确；
由数列是递增数列，不能推出数列的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，满足是
递增数列，但不满足数列的各项均为正数，故（2）不正确；
若是等差数列（公差d≠0），则由不能推出，例如数列：-3，-1，1，3，满足，但，故（3）不正确；
若是等比数列，则由可得数列的公比为-1，故有
；由可得数列的公比为-1，可得，故（4）正确．
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．3 B．—6 C．10 D．
【答案】C
【KS5U解析】由于即小于5又是奇数，所以；
由于即小于5且是偶数，所以；
由于即小于5又是奇数，所以；
由于即小于5且是偶数，所以；
由于小于5不成立，所以此时输出的S的值为10.
6．已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（）
A．命题“∧”是真命题 B．命题“（┐）∧”是真命题
C．命题“∧（┐）”是真命题 D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题
【答案】B
【KS5U解析】易知：命题：“是的充分必要条件”是假命题，应当是充分不必要条件；命题：“”是真命题。因此命题“（┐）∧”是真命题正确，所以选B。
7．若空间三条直线a、b、c满足，则直线（）
A．确定平行 B．确定相交
C．确定是异面直线 D．确定垂直
【答案】D
【KS5U解析】若，则直线可能相交、也可能异面，不管相交还是异面他们都是垂直的，但直线
确定不平行，因此选D。
8．函数的图象大致是（）
【答案】C
【KS5U解析】由于函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，因此B排解。又，由，由此可以排解A、D，因此选C。
9．如图所示的方格纸中有定点，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【KS5U解析】设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由长度相等，方向相同，所以。
10．设的最大值为（）
A． 80　　　　 B．　　　　 C． 25　　　 D．
【答案】A
【KS5U解析】画出约束条件表示的可行域，目标函数的几何意义为：可行域内的点与点（-1，0）的距离的平方。由可行域知：点（3,8）与点（-1,0）的距离最大，最大为，所以的最大值为80.
11．若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【KS5U解析】易知双曲线的左顶点为A（-a，0），右顶点为B（a，0）设P（m，n），得：直线PA的斜率为；直线PB的斜率为，所以，…………⑴，由于P（m，n）是双曲线上的点，所以，得，代入（1）式得，由于直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得，所以tanα•tanβ=1，由于P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角，所以。
12．若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的全部次不动点之和为，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【KS5U解析】由于函数与函数（其中为自然对数的底数）的图像关于直线对称，所以函数函数与的交点函数与的交点关于直线对称，所以。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．已知与之间的部分对应关系如下表：
11
12
13
14
15
…
…
则和可能满足的一个关系式是．
【答案】（不唯一）
【KS5U解析】将11、12、13、14、15、对应的函数值分别写成，由此可得和满足的一个关系式是（写成也可）。
14．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则= ．
【答案】
【KS5U解析】由于，所以，由三角形的面积公式和余弦定理，得：，所以=。
15．在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则＜的概率为
【答案】
【KS5U解析】在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，记为，则点构成的区域边长为1 的正方形，＜表示的区域为阴影部分，所以其概率为：
。
16、已知，，，。
依据以上等式，可猜想出的一般结论是；
【答案】，
【KS5U解析】依据等式：，，，，可猜想出的一般结论是。
2
4
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．
（Ⅰ）试分别估量该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
M
S
D
C
B
A
（Ⅱ）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和。
（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列｛｝的前项和．
21．（本小题满分12分）给定椭圆：．称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试推断是否垂直？并说明理由。

22．（本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数，
，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。
（Ⅰ）用表示，并求的最大值；
（Ⅱ）求证：（）．
参考答案
一、选择题
1、D；2、A；3、A；4、B； 5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；
二．填空题
13、（不唯一）；14、；15、；