文档介绍：数学研究型学****报告
课题名称:钢琴与指数曲线
指导老师:胡秀
课题研究方案
本课题的背景、意义、内容及应解决和思考的问题
钢琴是一种用琴槌击弦儿振动而发声的键盘乐器,它的音域极为宽广,最多有7个八度并包快所有的半音。它可演奏和弦与复调音乐,手法极为丰富
培养我们善于从日常生活中发现数学精神和数学兴趣
三角钢琴的轮廓有一段奇妙的“曲线”,三角钢琴的轮廓上部为什么要制成这样形状的曲线?
研究阶段与步骤
收集实际问题中研究对象的“数”的特征
建立函数模型,分析模型的性质
通过函数问题的解决
达到解决实际问题的目的
研究方法
观察收集资料建立数学模型等
研究过程记录
在88键钢琴中,“十二平均律”的法则,任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶(100音分),它们的振动频率之比是一个常数Q,设最低的第一个音A2的频率a,则第一个音#A2的频率是aQ,第三个音B2的频率是aQ2,……另外,音高每提高八度,频率增大为原来的2倍,而八度音域内包含12个半音,所以,第十三个音的频率是第一个音的频率的2倍。故
aQ12=2a
即
Q12=2
另一方面,弦振动的频率与弦长成反比,所以,从左向右,相邻两弦的长度之比是常数q=1/Q,从而有
Q12=1\2
设左边第一根弦的长度为l,则第二根弦的长度为lq,第三根弦的长度为lq2,……,去第一根弦所在直线为y轴,各弦靠近键盘的端点所在直线为x轴建立坐标系,相邻两弦间的距离为长度单位。这时,将弦的另一端点连成光滑曲线,那么曲线上任意点的坐标(x,y)都满足函数关系
Y=lqx
若令c=logql,则y=lqx可化为
Y=q x+c
经过适当评议,就可知道光滑曲线都是指数函数y=q x的图像——指数曲线
研究结题报告(或阶段研究报告)
通过钢琴曲线这一实例,体验数学是研究客观世界变化规律的一门学科,与现实世界有着密切联系,是分析、研究客观世界变化规律的重要工具,既对培养学生利用所学的数学知识探究、解决问题的能力有良好的训练作用,又激发了学生用数学知识研究现实世界中的一些现象的欲望.