文档介绍：第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积
[核心必知]
、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体
侧面展开图的形状
侧面积公式
圆柱
矩形
S圆柱侧=2πrl
圆锥
扇形
S圆锥侧=πrl
圆台
扇环
S圆台侧=π(r1+r2)l
其中r为底面半径,l为侧面母线长,r1,r2分别为圆台的上,下底面半径.
、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体
侧面积公式
直棱柱
S直棱柱侧=c·h
正棱锥
S正棱锥侧=c·h′
正棱台
S正棱台侧=(c+c′)·h′
其中c′,c分别表示上,下底面周长,h表示高,h′表示斜高.
[问题思考]
?其表面积是否确定?
提示:不同的展开方式,,几何体的侧面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.
、锥体、台体之间有如下关系:
那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系?
提示:根据以上关系,在台体的侧面积公式中,令c′=c,可以得到柱体的侧面积公式,令c′=0,可得到锥体的侧面积公式,其关系如下所示:
S柱侧=ch′c=c′,S台侧=(c+c′)h′S锥侧=ch′.
?
提示:,此平行四边形的一边为棱柱的底面周长,另一边长为棱柱的侧棱长,但此平行四边形若不是矩形,则它的面积并不等于这两边长的乘积,所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积,只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积.
讲一讲
1.(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为( )
(4π+3)
(3π+1)
(4π+3)或8π(3π+1)
(4π+1)或8π(3π+2)
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面积的比为( )
∶1 ∶2
∶3 ∶4
[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.①以边长为6π的边为轴时,4π为圆柱底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,S全=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1).②以边长为4π的边为轴时,6π为圆柱底面周长,则2πr=6π,即r=3,∴S底=9π,∴S全=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).
(2)选C 如图所示,PB为圆锥的母线,O1,O2分别为截面与底面的圆心.∵O1为PO2的中点,
∴===,
∴PA=AB,O2B=2O1A.
∵S圆锥侧=×2π·O1A·PA,
S圆台侧=×2π·(O1A+O2B)·AB,
∴==.
、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和.
,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台,再通过这些基本柱、锥、台的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积.
练一练
、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
解:如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,
故c=π·SA=2π×10,
所以SA=20(cm),
同理可得SB=40(cm),
所以AB=SB-SA=20(cm),
所以S表面积=S侧+S上+S下
=π(r1+r2)·AB+πr+πr
=π(10+20)×20+π×102+π×202
=1 100π(cm2).故圆台的表面积为1 100π cm2.
讲一讲
、下底面均是正五边形,边长分别是8 cm和18 cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13 cm,求它的侧面积.
[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面,它是一个上底、下底分别为8 cm和18 cm,腰长为13 cm的等腰梯形,由点A向BC作垂线,设垂足为E,由点D向BC作垂线,设垂足为F,易知BE=CF.
∵BE+EF+FC=2BF-AD=BC,
∴BF===13.∴BE=BF-AD=13-8=5.
又AB=13,∴AE=12.
∴S四边形ABCD=(AD+BC)·AE=×(18+8)×12=156(cm2).
故其侧面积为156×5=780(cm2).
要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积,需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件,然后应用公式进行解答.
练一练
­ABC的主视图,俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.
解:由主视图与俯视图可