文档介绍：上海交通大学《矩阵分析》试卷(A)()
一、单项选择题(每题3分,共15分)AAABC
设F是数域,,则
设M是n阶实数矩阵,若M的n个盖尔圆彼此分离,则M
A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散
设,则A=
A. B. C. D.
设收敛,则A可以取为
A. B. C. D.
设3阶矩阵A满足, 且其最小多项式m(x)满足条件为某实数,则A可以相似于
A. B.
C. D.
二、填空题(每题3分,共15分)
设5阶复数矩阵A的最小多项式为,则=[ 1 ]; [ 1 ].(其中表示共轭转置)
设,则= [ E+2(cos1-1)A ]。
设矩阵,则的谱半径为[3+2^{1/2}+3^{1/2}]。
已知,,则幂级数收敛,且其和为[A(E-A)^{-2}]。
设A为2阶矩阵,使得,则A的谱l(A)=[{1,2}]。
三、计算题(每题14分,共56分)
求到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵,使得的像Im包含向量,而的核Ker由向量生成. 又, 这样的线性变换是否唯一?为什么?
解设题中给出的三个向量依次为a1,a2,a3。取的一组基为。构造到自身的一个映射为
:,再将线性拓展到整个上。则是满足题意的一个线性变换。
上述线性变换显然不是唯一的(实际上有无穷多个):比如,将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调,即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k(k是任意复数)的像(=0)确定外,其与相邻的像不是完全确定的。
复数域C是实数域R上的2维线性空间. 试定义C上的一个内积,使得1与成为C的一个标准正交基;并求的长度.
解对任意xj+yjiÎC,j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基,必要且只要<1,1+i>=0,<1+i,1+i>=1,<1,1>=1, 必要且只要
< x1+y1i, x2+y2i>=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .
上式定义了一个C上的内积:对称性与正定性是显然的;且由于该内积还是x1,x2,y1,y2的二次型,故双线性性质也成立。
在上述内积下,向量x+yi的长度等于[(x-y)2+y2]1/2;因此1-i的长度为51/2.
设,试求矩阵B使得。
解 A的特征值为-1,-1,1。属于-1的特征向量与广义特征向