文档介绍：定积分的方法总结
定积分是新课标的新增内容,其中定积分的计算是重点考查的考点之一,下面例析定积分计算的几种常用方法.
一、定义法
例1、求,()
解:因为函数在上连续,所以函数在上可积,,将等分成个小区间,
分点坐标依次为
取是小区间的右端点,即,于是,,
其中,=
=
将此结果代入上式之中,有
从上面的例题可见,按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算,在解题时不常用,但它也不失为一种计算定积分的方法.
评注:,其它方法计算定积分比较困难时,用定义法,应注意其四个步骤中的关键环节是求和,体现的思想方法是先分后合,以直代曲.
变式:求.
分析:,可采取如下方法:先对区间等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.
解:将区间等分,则每个小区间长为,
==.
二、微积分基本定理法
例2、计算.
解:=
==.
练习:计算:(1).(2)
解: (1).
(2).
评注:运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.
一般地:
三、几何意义法
例3、求定积分的值.
分析:利用定积分的意义是指曲边梯形的面积,只要作出图形就可求出.
解:,而表示圆x2+y2=4在第一、二象限的上半圆的面积.
因为,=.
评注:利用定积分的几何意义解题,被积函数图形易画,面积较易求出.
四、性质法
例4、求下列定积分:
⑴;⑵.
分析:对于⑴用微积分的基本定理可以解决,而⑵的原函数很难找到,,则能迎刃而解.
解:由被积函数tanx及是奇函数,所以在对称区间的积分值均为零.
所以⑴=0;⑵=0.
评注:一般地,若f(x)在[-a,a]上连续,则有性质:①当f(x)为偶函数时,=2;②当f(x)为奇函数时,=0
练习:计算:(1).(0) (2).
五、定积分换元法
定理:假设(1)