文档介绍：第二章知识点总结
一、平面
通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示,也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示,如平面AC.
在立体几何中,大写字母A,B,C,…表示点,小写字母,a,b,c,…l,m,n,…表示直线,且把直线和平面看成点的集合,因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系,例如:
A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;
lα—直线l在平面α内;
aα—直线a不在平面α内;
l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;
α∩l=A—平面α与直线l交于A点;
α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.
二、平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.
根据上面的公理,可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行
直接证法
三、证题方法
反证法
证题方法
间接证法
同一法
四、空间线面的位置关系
共面平行—没有公共点
(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行,又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
五、异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
六、线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ
④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b(线面垂直的性质定理)
⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b(面面平行的性质公理)
⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……,α∩β=b,则a∥b.(线面平行的判定定理)
③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c.(公理4)
(2)两直线垂直的判定
①定义:若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面,⊥α,bα,a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行,∥α,b⊥α,则a⊥b.
(3)直线与平面平行的判定
①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线