文档介绍：计算土力学
主讲教师:张爱军
§ 形函数的选择
位移模式是表征单元内部位移的形状的函数,位移模式一般用多项式表示,因为多项式可以无限逼近任意连续函数。
其形式为:
形函数是表征单元内部任意一点的位移与结点位移之间关系的函数。形函数由位移模式推导产生。其一般形式为:
位移模式的选择
包含常数项,反映刚体位移
包括常应变项。单元应变包括两部分,一部分与结点的位置有关,称为变量应变;一部分与结点的位移无关,称为常应变。当单元尺寸较小时,单元应变趋于均匀,其常应变量成为应变的主要部分,位移模式中必须包括这个部分。包括常应变的意思在于位移模式中必须包括x,y,z的一次项
位移在单元内部连续,在边界上协调,相邻单元在边界上不开裂也不重叠
满足几何对称性,即:在各个方向上均形式一样,只是参数不同
位移模式的选择一般采用帕斯卡三角形
形函数的建立
将各个结点的坐标和各个结点的位移值(在这里认为是确定值)代入位移模式,得到一组联立的代数方程组,求解这个方程,得到由结点坐标和位移值表示的待定参数值,即:
等参元的形函数有所不同
§ 常应变三角形单元
以平面应变问题的三角形单元有限元为例,阐明有限元解题的过程,从位移模式的建立,到形函数的形成以及单元刚度矩阵、总体刚度矩阵,求解等全过程。
三角形单元是最简单的有限单元,但是其代表性较强,便于理解。
单元位移模式、形函数的建立
设:一个三角形单元,其结点编号为1,2,3。相应结点坐标为{x1,y1,x2,y2,x3,y3},而结点的位移为{u1,v1,u2,v2,u3,v3},这样单元有6个自由度。
取:单元的位移模式为(常应变):
1
2
3
v
u
(x,y)
x
y
v2
u2
其中:x,y为单元内部任一点坐标
u,v 为该点沿x,y方向的位移
将三个结点的坐标与位移值代入位移模式中得:
得到:三个待定系数的值为:
只与结点坐标有关