文档介绍：线性回归分析

以前我们所研究的函数关系是完全确定的,但在实际问题中,常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达,这种非确定性的关系称为相关关系。通过大量的试验和观察,用统计的方法找到试验结果的统计规律,这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。如果两个变量之间的关系是线性的,这就是一元线性回归问题。一元线性回归问题主要分以下三个方面:
(1)通过对大量试验数据的分析、处理,得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
(2)对经验公式的可信程度进行检验,判断经验公式是否可信。
(3)利用已建立的经验公式,进行预测和控制。

在一元线性回归分析里,主要是考察随机变量y与普通变量x之间的关系。通过试验,可得到x、y的若干对实测数据,将这些数据在坐标系中描绘出来,所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠(NaNO3)的溶解度试验中,测得在不同温度x(℃)下,溶解于100份水中的硝酸钠份数y的数据如下:
xi
0
4
10
15
21
29
36
61
68
yi

给出散点图并试建x与y的经验公式。
解将每对观察值(xi,yi)在直角坐标系中描出,得散点图如图1所示。从图1可看出,这些点虽不在一条直线上,但都在一条直线附近。于是,很自然会想到用一条直线来近似地表示x与y之间的关系,这条直线的方程就叫做y对x的一元线性回归方程。设这条直线的方程为=a+bx
其中a、b叫做回归系数(表示直线上y的值与实际值yi不同)。
下面是怎样确定a和b,使直线总的看来最靠近这几个点。

在一次试验中,取得n对数据(xi,yi),其中yi是随机变量y对应于xi的观察值。我们所要求的直线应该是使所有︱yi-︱之和最小的一条直线,其