文档介绍：第七章
多目标及离散变量优化方法
一、多目标优化问题
二、多目标优化方法
一、多目标优化问题
1、概念
同时要求实现: 成本、重量、体积
利润、产量、承载能力
兼顾多方面的要求,则称为多目标优化问题。
一般地说,若有
个目标函数,则多目标优化
问题的表达式可写成:
称为向量目标函数。
表示向量极小化,
即向量目标函数中各个目标函数被同等的极小化的意思。
在多目标的优化模型中,还有一类模型是在约束条件下,各个目标函数不是同等的被最优化,而是按不同的优先层次先后地进行优化----分层多目标优化问题。

任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的,在多目标优化问题中得到的是非劣解。
例:求
,
对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解,但是却无法求得两者共同的最优解。

(1)最优解
(2)劣解
(3)非劣解
(4)弱非劣解或称弱有效解。
0
f2
f1
● 1
● 3
● 2
● 4
● 6
● 5
对于f1(x),1最好,其次为3,2,4,5,6;
对于f2(x),2最好,其次为3,1,5,4,6。
综合考虑,1,2,3为非劣解,4,5,6为劣解。
二、多目标优化方法
主要有两大类:
※一类直接求出非劣解,然后从中选择较好解;
※另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。
★重新构造一个函数(即评价函数),将多目标(向量)优化问题转变为评价函数的单目标(标量)优化问题——主要目标法、统一目标法。
★将多目标(向量)优化问题转化为一系列单目标(标量)优化问题来求解——分层序列法
★协调曲线法

抓住主要目标,兼顾其他要求。(选择一个目标作为主要目标,将其他目标转化成约束条件)

又称为综合目标法,它是将原多目标优化问题,通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数,然后用前述的单目标函数优化方法求解。
(1)线性加权和法(线性组合法)
(2)极大极小法
(3)理想点法与平方和加权法
(4)分目标乘除法
(5)功效系数法——几何平均法
(1)线性加权和法(线性组合法)
根据多目标优化问题各个目标函数
的重要程度,对应的选择一组权系数
,并有
用
与
的线性组合构成一个评价函数
将多目标优化问题转化为单目标优化问题,即求评价函数
的最优解,
它就是原多目标优化问题的解。
难点:如何找到合理的权系数
解决方法:将各单目标最优化值的倒数取作权系数
1)可反映各个单目标对整个多目标问题的重要程度;
2)对各个分目标函数作统一量纲处理。
(2)极大极小法
考虑对各个目标最不利情况下求出最有利的解。就是对多目标极小化问题采用各个目标
中的最大值作为评价函数的函数值来构造它。
即取
为评价函数,
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
将上述问题的优化解作为多目标优化问题的解。
即取最大误差为最小
或