陶桂平微积分分部积分习题解答及例题.doc

文档介绍：分部积分法与有理函数积分****题解答与补充例题
一、总结:分部积分法的积分流程为

使用分部积分法的关键是将恰当地凑成的形式,其遵循的一般原则是:
(1)中容易凑微分的那部分挖出与凑成;(2)要容易积分;
常见有三种类型:
类型
与的选取
1
,,注:可推广到多项式
选为,
将,,凑成
2
,()
,,,
选,反三角函数为,
将凑成,
3
,
循环积分法:与(或)任选一个为,余下的凑,用两次分部积分,(两次的选取应一致,即两次均选为,或两次均选(或)为),得到所求积分的方程,解方程即得。
注:(1)一般地,若幂函数碰到不易凑微分的函数如对数函数和反三角函数时,幂函数凑,幂函数碰到易凑微分的函数如三角函数,指数函数时,幂函数为,其它函数凑。
(2)当被积函数中含有根式或复杂形式时,可以先借助换元法化简积分,再考虑用分部积分。
(3)多次运用分部积分公式时,有时会出现待求的不定积分,即出现了循环,得到一个方程式,求解方程得,制造这种循环也是求不定积分的一种方法。
二、课后****题点评(P172 第四题)
4、(1)与(2)为分部积分的第二种类型,直接分部积分。
(3)与(4)为分部积分的第一种类型,多项式为,其它凑。
(5)与(6)类似,幂函数碰到易凑微分的三角函数,幂函数为。
(7)
注:直接凑不易观察时,可以分步凑微分, (8)
利用三角函数的降幂公式化为分部积分的第一类型
(9)属于分部积分的第一类型
(10) 化为分部积分的第一类型
(11) 化为分部积分的第一类型
(12)化为分部积分的第三类型,用循环积分法。
(13)分部积分的第二类型,直接分部积分
(14),化为分部积分的第二类型
(15)建立所求积分的方程,解方程。
,
所以。
(16)化为分部积分的第二类型
(17)分部积分的第二类型
(18)
(19),化简被积函数,借助分母有理化,再积分
(20),(直接观察出原函数),或
或
注:第二种方法是将积分化为两部分,其中一部分用分部积分公式,得到