洛必达法则.ppt

文档介绍：§ 洛必达法则
还有其它类型的未定式 0、、00、1、0
在函数商的极限中如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大那么极限可能存在也可能不存在这种极
0
0
-或


-
限称为未定式记为
未定式
如果函数f(x)和g(x)满足如下条件
(1) f(x)和g(x)都是当xa时的无穷小(或无穷大)
(2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0
说明:
把定理中的“ xa ”换成“ x”把条件(2)换成“当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0”结论仍然成立
定理(洛必达法则)
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证明:由条件(1)可知,点a是f(x)和g(x)的连续点或是可去间断点,当a为连续点时,有f(a)=g(a)=0当a为连续点时,由我们讨论的是函数当x→a时的极限,而与函数在a处的函数值无关,所以我们可通过补充定义或改变定义也就是改变点a的函数值的方法,即令f(a)=g(a)=0,使两个函数在点a处连续,再加上条件(2),于是函数f(x)和g(x)在点a的某领域内连续。
设x为该领域内任意一点(x≠a),则f(x)和g(x)在以a和x为端点的闭区间上满足柯西中值定理所有条件,故有
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由于当x→a时,ξ→a,对上式两边取极限得
这种在一定条件下用导数比替代函数比去求未定式极限的方法被称为洛必达法则。
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“零比零”型未定式的定值法
解
例1
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注:每次使用罗必达法则之前,必须分析所求极限是否满足法则条件,若不满足,应停止使用,改用其他方法。
解
解
例2
例3
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“零比零”型未定式的定值法
1洛必达法则是求未定式的一种有效方法但最好能与其它求极限的方法结合使用例如能化简时应尽可能先化简可以应用等价无穷小替代或重要极限时应尽可能应用这样可以使运算简捷
应注意的问题
解
例6
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