文档介绍：九年级数学《相似三角形的判定与性质》知识点
【知识点1】三角形相似的判定方法
1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,:两角对应相等,两三角形相似.
4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,:三边对应成比例,两三角形相似.
6、判定直角三角形相似的方法:
(1)以上各种判定均适用.
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
注:射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,
则AD2=BD·DC, AB2=BD·BC , AC2=CD·BC 。
【例题1】、甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部
5米处时,,那么路灯甲的高为________米.
甲
小华乙
(第1题图) (第2题图)
【例题2】、如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,画出符号条件的格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P,A,B为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外),则格点P的坐标是_______.
【例题3】、在Rt△ABC中,斜边AC上有一动点D(不与点A,C重合),过D点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有______条.
【知识点2】三角形相似基本图形
如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)
(2) 如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。(有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”)
如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)
【例题1】、如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是【】
【例题2】、如图所示,给出下列条件:①; ②; ③; ④其中单独能够判定的个数为【】
C
A
B
D
E
F
A
C
D
B
(第2题图)
(第3题图) (第4题图) (第5题图)
【例题3】、如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有【】
C. 3对
【例题4】、如图,已知平行四边形ABCD中,E是AB边的中点,DE交AC于点F,下面结论:①只有一对相似三角形;②EF:ED=1:2;③AF:FC=1:2;.其中正确的结论是【】
A.①③ B.③ C.① D.①②
【例题5】、如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。
【知识点3】全等与相似的比较:
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)
直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)
相似判定的预备定理
两角对应相等
两边对应成比例,且夹角相等
三边对应成比例
直角三角形中斜边与一直角边对应成比例
【知识点4】相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比.
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.
【例题1】如图1,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是【】
A .AB2=BC·BD =AC·BD ·AD=BD·BC ·AD=AD·CD
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
【例题2】