文档介绍：§ 矢量的平移和仿射联络
设P点有协变矢量,它平移至Q点后相应的矢量为。
作为线性理论,平移引起的改变应正比于,且正比于位移量
,则
.
这里的比例系数叫做P点的仿射联络。由于在Q点仍具有矢量性质,应有
将在P点作泰勒展开(∵要统一用P点的量来表述):
(affine connection)
定义比例系数为仿射联络,其坐标变换公式为:
∵
∴
又
故
显然,只要仿射联络满足此变换公式,则矢量的平移便可保持其矢量性不变。不同点的张量便建立了一种联系——仿射联络。
同样可得逆变矢量的平移公式
(i)——(1,2)阶张量
(ii)——对称联络
(iii)——反(对)称联络——挠率张量
(iv)
§ 张量的协变微商
不同点的函数差与不同点的坐标差之比的极限
(普通)微商(导数)定义:
——
对张量场,不同点的张量差必须在引入联络后才能保持其张量性质不变。
(i)标量场T
坐标变换后,有
这表明是协变矢量。即
(ii)矢量场
设在空间P、Q两点有矢量则对其协变微商为:
又注意到
即
对逆变矢量
有
注意到的任意性,故有
例:①求二阶协变张量的协变微商,
解:已知,一阶张量的协变微分公式,取一缩并
注意到的任意性,故有
同理有
还可以证明:
1)
2)
3)当采用对称联络时,有
§ 测地线方程
①定义:
平直空间的直线,两点间的最短连线
弯曲空间的直线:两点间的最短连线——测地线(例如球面上的大圆线(经纬线)
②测地线方程
平直空间的直线方程为
对n维空间的曲线由n个参量式描述:
则曲线上任一点的切矢定义为
令P,Q为曲线上的两相邻点,其坐标分别为,
则P点的切矢为,Q点的切矢为
若P点的切矢移至Q点后与原Q点的切矢平行,则该曲线就叫做测地线,即
故有测地线方程:
——测地线方程
为了简化此方程,可作一变换(见P19)
则测地线方程可简化为
——仿射参量
§
刻划空间弯曲程度的几何量之一:曲率张量
设一逆变矢量(一阶逆变张量),
对其作两次协变微分:
考察其差
即
而
∴
将上式右方第二括号内的指标,则有
令——曲率张量
则有
对对称联络(无挠联络):
故有(在无挠空间)
可见,在弯曲空间,张量的协变微分的顺序是不能任意交换的(即沿不同方向的微分顺序将导致不同的结果)。仿此可得
对无挠
性质:
空间平直的充要条件是曲率张量及挠率张量的所有分量为零。
黎曼几何
在仿射空间中引入度规场和不变距离,就构成了黎曼空间。
§
设空间中两点的距离为ds
——度规张量——反映空间的性质
广义相对论中的任务之一就是要找出不同空间的
欧氏空间:(取直角坐标)——黎曼空间特例
∴
若取球坐标,