文档介绍：第六讲解析几何(文)
第一节曲线与方程
曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间.
考试要求⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.
题型一曲线与方程
“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,给出以下四个命题:①曲线上的点的坐标都满足方程;②坐标满足方程的点有些在上,有些不在上;③坐标满足方程的点都不在曲线上;④一定有不在曲线上的点,( ).
A. B. C. D.
点拨:直接用定义进行判断.
解:“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,∴④正确;曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,∴①错;若满足方程的只有一解,则②错;“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③.
易错点:定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项.
变式与引申
A.
C.
B.
D.
图
.方程的曲线形状是( ).
:上,则方程表示一条( ).
题型二代入法(相关点法)求曲线方程
例已知点,点、分别在轴、轴上,且,,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程.
点拨:由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程.
解:设,,,又,则,,.由,得①.由,得,∴,,即,,代入①得,,即,当时,三点、、重合,不满足条件,∴,故点的轨迹方程为.
易错点:忽视轨迹方程中的.
变式与引申
,点、分别在轴、轴上运动,且,动点满足,求动点的轨迹方程.
题型三待定系数法、直接法求曲线方程
例已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和.
⑴求椭圆的方程;
⑵若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(为椭圆的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
点拨:问题⑴用待定系数法求椭圆的方程;问题⑵将点、的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量的取值范围.
解:⑴设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,,
∴.故椭圆的标准方程为.
⑵设,,,而,∴.由点在椭圆上,得,代入上式并化简得,故点的轨迹方程为轨迹是两条平行于轴的线段.
易错点: 第⑵小问中未注意到点与的坐标关系,会造成求点轨迹方程的思路受阻;忽视变量的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断.
变式与引申
:的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆的方程;
⑵设该椭圆的左、右焦点分别为、,直线过且与轴垂直,动直线与轴垂直,
交与点,求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型.
题型四定义法求曲线方程与实际应用问题
例为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距的、两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到、两点的距离之和不超过的区域.
⑴求考察区域边界曲线的方程;
⑵如图所示,设线段是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,:经过多长时间,点恰好在冰川边界线上?
川
冰
已
融
化
区
域
图
点拨:本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察
区域边界曲线的方程;综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列
求和公式等知识能使第⑵小问获解.
解:⑴
知,点在以、为焦点,长轴长为的椭圆
上,此时短半轴长,故考察区域边界曲线的方程为.
⑵易知过点、的直线方程为,∴,点恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得,,点恰好在冰川边界线上.
易错点:⑴不能正确建立应用题的数学模型;⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误.
图
变式与引申
,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运