文档介绍：第9讲空间几何体的结构特征三视图与直观图
、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图与直观图,能识别上述的三视图现直观图所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型.
【例1】请描述下列几何体的结构特征,并说出它的名称.
(1)由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其它面都是全等的矩形;
(2)如右图,一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.
解:(1)特征:具有棱柱的特征,且侧面都是全等的矩形,底面是正五边形.
几何体为正五棱柱.
(2)由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体,即空心球.
【例2】若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为2,底面周长为9,求棱锥的高.
解:底面正三角形中,边长为3,高为,中心到顶点距离为,
则棱锥的高为.
【例3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1:16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.
解:设圆台的母线为,截得圆台的上、下底面半径分别为,.
根据相似三角形的性质得,,解得.
所以,圆台的母线长为9cm.
点评:用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方程组而解得.
【例4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为,求
与的值.
解:设长方体的一个顶点出发的长、宽、高分别为a、b、c,相应对角线长为l,则.
, ∴=1.
,∴=2.
点评:从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱,均位于直角三角形中,利用直角三角形中的边角关系“”、“”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边,斜边是长方体的对角线,角的邻边是各棱长,角的对边是相应矩形面的对角线.
【例1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解:在长方体中,取四棱锥,它的四个侧面都是直角三角形. 选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,求球的半径.
解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得
梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为,
所以,球的半径为.
【例3】圆锥底面半径为1cm,高为cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.
S
D
E
O
C1
C
F
D1
解:过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图所示.
设正方体棱长为x,则CC1=x,C1D1。
作SOEF于O,则SO,OE=1,
, ∴,即.
∴, 即内接正方体棱长为cm.
点评:此题也可以利用而求. 两个几何体相接、相切的问题,关键在于发现一些截面之间的图形关系. 常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似,利用相似比列出方程而求. 注意截面图形中各线段长度的计算.
P
C
A
D
B
H
O
E
F
G
【例4】以正四棱台(底面为正方形,各个侧