文档介绍：最优控制方法及其应用
摘要
最优控制是现代控制理论的核心,它研究的主要问题是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制策略,使得性能指标取极大值或极小值,使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
可概括为:对一个受控的动力学系统或运动过程,从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案,使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时,其性能指标值为最优。
从数学上看,确定最优控制问题可以表述为:在运动方程和允许控制范围的约束下,对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数( 称为泛函) 求取极值( 极大值或极小值)。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法(对泛函求极值的一种数学方法)、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
研究最优控制问题有力的数学工具是变分理论,而经典变分理论只能够解决控制无约束的问题,但是工程实践中的问题大多是控制有约束的问题,因此出现了现代变分理论。
现代变分理论中最常用的有两种方法。一种是动态规划法,另一种是极小值原理。它们都能够很好的解决控制有闭集约束的变分问题。
值得指出的是,动态规划法和极小值原理实质上都属于解析法。此外,变分法、线性二次型控制法也属于解决最优控制问题的解析法。最优控制问题的研究方法除了解析法外,还包括数值计算法和梯度型法。
目录
摘要……………………………………………………………………………1
第一章古典变分法……………………………………………………3
古典变分法的定义………………………………………3
古典变分法的应用………………………………………3
第二章最大值原理……………………………………………………6
最大值原理概述……………………………………………6
最大值原理应用举例……………………………………7
第三章动态规划……………………………………………………8
…………………………………………8
…………………………………………10
第四章线性二次型…………………………………………………13
结束语…………………………………………………………………………15
参考文献………………………………………………………………………16
第一章古典变分法
古典变分法的定义
古典变分法是研究对泛函求极值的一种数学方法。直接来说,求泛函的极大值或者极小值问题成为变分问题,而求泛函极值的方法就成为变分法。
古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在两个极限值范围内转动,电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题,是无能为力的。
变分法上研究泛函极值的一种方法,为古典变分法。
拉格朗日问题: 求一容许函数,使泛函
取最小值。
下面利用泛函达到极值的必要条件:,导出欧拉方程。
引理: 设连续函数对于任一具有下述性质的函数
在上,连续
总有
则对于。
定理:若最简单的泛函
;
在曲线处达到极值,则必为欧拉方程
的解。
证明因为泛函在处达到极值,所以有
其中
而
代入得
由引理可得
还可写成
欧拉方程是二阶常微分方程。两个积分常数由两个边界条件确定。
变分法应用:
例
求泛函
满足边界条件的极值曲线。
解,
欧拉方程为
求得,由边界条件可得。故得极值曲线为。
含有多个未知函数的变分问题
其中
有相似结论
边界条件为。
第二章极值原理
为了解决古典变分法在求解最优控制问题中所暴露出来的上述问题,许多学者进行了各种探索。其中以苏联学者庞特里雅金(Pontryagin)的最大值原理(或最小值原理)与美国学者贝尔曼()的动态规划较为成功,应用也较广泛,现已成为求解最优控制问题的强有力的工具。
给定系统的状态方程
和初态X(t0)=X0, 而终端时刻tf固定,终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是
则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ,并使性能泛函
达到极小值的最优控制应满足的必要条件是:
(1)设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线,则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量l(t),使得X*(t)和l(t)满足规范方程
其中,
(2)边界条件为
在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上哈密顿函数