文档介绍：§ 多元函数的极值
(一)多元函数的无条件极值
设f (x, y)在点P0(x0, y0)的某领域O(P0)内有定义, (x,y)O(P0),
f (x,y) f(x0, y0), f (x, y) f(x0, y0)
则称 f (x0,y0)是f (x, y)的一个极小值(极大值), 称点(x0, y0)是f (x, y)的一个极大小值点(极大值)点.
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(必要条件)
设z=f (x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数存在,
若(x0,y0)是f (x,y)的一个极值点, 则必有
f x(x0, y0)= f y(x0, y0)=0.
的点为z=f (x,y)的驻点.
满足条件
可微函数的极值点一定是驻点, 但驻点未必是极值点.
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设f (x,y)在点P0(x0,y0)的某领域内有连续的二阶偏导数且(x0,y0)是f (x,y)的驻点, 记
那么有下列结论成立:
(1) 当B2-AC<0时,(x0, y0)是f (x,y)的极值点, 且
A>0时, f(x0, y0)是f (x, y)的极小值;
A<0时, f(x0, y0)是f (x, y)的极大值。
(2) 当B2-AC>0时,(x0,y0)不是f (x, y)的极值点。
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例2 求函数的极值。
解:解方程组
因此
因此f (x,y)在(1,1) 取得极小值 f (1,1)= - 5。
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例3 求函数f (x,y)=-3xy-x3+y3的极值。
解:解方程组
得f (x,y)的驻点(0,0),(1,-1).
由于
因此点(0,0)不是 f (x,y)的极值点。
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在(1,-1)处有
因此点(1,-1)是 f (x,y)的极大值点, 且有极大值1。
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闭区域 D上的连续函数一定有最大值和最小值。
根据问题的性质可知:
函数f (x)的最大(小)值一定在区域 D 的内部取得,
并且f(x)在D 的内部只有一个驻点, 则可以断定该驻点处的函数值就是f (x)在D 上的最大(小)值,
从而f(x)在D 上的最小(大)值只能在区域 D 的边界上取得。
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例4 求函数f (x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在有界闭区域D 上的最大值和最小值,其中D是由直线x+y=2, x 轴和y轴所围成的有界闭区域。
解:解方程组
得f (x, y)的驻点(0,0),(0, 2),(2,0),(2/3, 2/3).
显然只有点(2/3, 2/3)闭区域内部。
由于
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在点(2/3, 2/3) 处有
因此f (x,y)在D内惟一驻点处取得极大值
因而函数在此驻点处也取得最大值。
函数必然在区域的边界上取得最小值,
在边界上, 有f (x,y)=0,
因此函数有最小值0.
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