文档介绍：2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题
单项选择题:每题4分,满分32分
1. 曲线的渐近线的条数为【】
A. 0; B. 1; C. 2; D. 3.
2. 设函数,其中为正整数,则【】
A.; B. ; C. ; D. .
3. 设,,,则数列有界是数列收敛的【】
;B. 充分非必要条件;C. 必要非充分条件;D. 非充分也非必要条件.
4. 设,,则有【】(注意:网络给的题目错误!)
A. ; B. ; C. ; D. .
5. 设函数是可微函数,且对任意的,,,则使不等式成立的一个充分条件是【】
A.;B. ;C. ;D. ;
,,围成,则【】
A.; B. ; C. ; D. .
7. 设,,,,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是【】。
A. ; B. ; C. ; D. .
8. 设为三阶矩阵,为三阶可逆矩阵,且. 若,
, 则【】
A. ; B. ; C. ; D. .
二、填空题:每题4分,满分24分
9. 设是由方程所确定的隐函数,则.
10. .
11. 设,其中是可微函数,则.
12. 微分方程满足条件的解.
13. 曲线上曲率为的点的坐标是.
14. 设是三阶矩阵,,为的伴随矩阵,交换的第一行与第二行得矩阵,则.
三、解答题:共94分
15. (本题满分10分)已知函数,记
(1)求的值;(2)当时,与是同阶的无穷小,求常数的值。
16. (本题满分10分)求函数的极值(按答案复原的题目).
网上提供的题目:?
17. (本题满分12分).过点作曲线的切线,切点为,又与轴的交点为,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体体积。
18. (本题满分10分)计算二重积分,其中区域由曲线与极轴围成。
19. (本题满分10分) 若函数满足方程及,(1)求的表达式;(2)求曲线的拐点。
20. (本题满分10分)证明:,.
21. (本题满分10分)(1)证明方程,在区间内有且仅有一个实根;(2)记(1)中的实根为,证明存在,并求此极限。
22. (本题满分11分)设,, (1) 计算行列式;
(2)当实数为何值时,方程组有无穷多组解,并求其通解.
23. (本题满分11分)已知,二次型的秩为2,
(1)求实数的值; (2)求正交变换将化为标准形.
2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题参考解答
单项选择题:每题4分,满分32分
1. 曲线的渐近线的条数为【】
A. 0; B. 1; C. 2; D. 3.
【解】,说明曲线有铅垂渐近线,
,说明曲线有水平渐近线,
曲线不存在斜渐近线,故选择答案C.
2. 设函数,其中为正整数,则【】
A.; B. ; C. ; D. .
【解】用等价无穷小代换及导数的定义
选择答案A.
(注意:网络答案有大的计算错误!)
3. 设,,,则数列有界是数列收敛的【】
;B. 充分非必要条件;C. 必要非充分条件;D. 非充分也非必要条件.
【解】由于,若数列有界,则有,说明有界是数列收敛的充分条件;
但数列收敛,并不能推出有界,例如{}收敛,但数列无界。
因此选项应是B. (注意:网络给的答案或者题目错误!按其答案原题应是级数收敛)
4. 设,,则有【】(注意:网络给的题目!)
A. ; B. ; C. ; D. .
【解】利用变上限函数的求导法,,当时,,即是增函数,而,故。选择答案A. (注意:网络答案选择有误!)
【的解答】设当时,与轴围成的面积为;
当时,与轴围成的面积为;当时,与轴围成的面积为;则,
,
,
,故,,
,故。正确选项为D。
5. 设函数是可微函数,且对任意的,,,则使不等式
成立的一个充分条件是【】
A.;B. ;C. ;D. ;
【解】说明函数对变量是增函数,故需要;
说明函数对变量是减函数,需要;
选项应是A。
,,围成,则【】
A.; B. ; C. ; D. .
【解】利用奇函数的积分性质
故选D
7. 设,,,,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是【】。
A. ; B. ; C. ; D. .
【解】由于,,,,故选C.
8. 设为三阶矩阵,为三阶可逆矩阵,且. 若,
, 则【】
A. ; B. ; C. ; D. .
【解】由,, ,
所以
. 故选B.
二、填空题:每题4分,满分24分
9. 设是由方程所确定的隐函数,则.
【解】显然时,;方程对求导,得到,,,把,,代入得
(注意:网络答案没有完成!)
10. .
【解】由定积分的定义,知
11. 设,其中是可